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Em Estatística, em teoria das probabilidades, o valor esperado, também chamado esperança matemática ou expectância, de uma variável aleatória é a soma do produto de cada probabilidade de saída da experiência pelo seu respectivo valor. Isto é, representa o valor médio "esperado" de uma experiência se ela for repetida muitas vezes. Note-se que o valor em si pode não ser esperado no sentido geral; pode ser improvável ou impossível. Se todos os eventos tiverem igual probabilidade o valor esperado é a média aritmética.

Índice

Definição matemáticaEditar

Esperança de uma variável aleatóriaEditar

Para uma variável aleatória discreta X com valores possíveis   e com as suas probabilidades representadas pela função  , o valor esperado calcula-se pela série:

 

desde que a série seja convergente.

Para uma variável aleatória contínua X o valor esperado calcula-se mediante o integral de todos os valores da função de densidade  :

 

Generalizando, seja g uma função que toma valores no espaço amostral de X. Então temos:

 

e

 

Deve-se notar que, no caso geral,   não comuta com a função g, ou seja:

 

Esperança de variáveis aleatórias de mais de uma dimensãoEditar

Para o caso mais geral de   ser uma variável aleatória de mais de uma dimensão, e com   assumindo valores em um espaço vetorial normado, temos:

 

e

 , em que a integral de Lebesgue é usada.

ExemplosEditar

  • a variável aleatória X dada por p(X = -1) = p(X = 1) = 1/2 tem valor esperado 0.
  • a variável aleatória X dada por   para n = 1, 2, 3, ... não tem valor esperado.
  • Seja um vetor aleatório Y de dimensão nX1, cujos componentes são as variáveis aleatórias  . A esperança de Y,  , é um vetor nX1 cujos componentes são as esperanças das variáveis aleatórias que compunham Y. Ou seja,
 .

Propriedades do valor esperadoEditar

Nas seguintes propriedades,   são variáveis aleatórias,   são constantes.

 
 
 
 

Sejam: x o vetor aleatório N X 1 com valor esperado E(X) e variância   ; A uma matriz quadrada genérica de dimensão N x X; tr(A) o traço da matriz A. Então, a esperança da variável ao quadrado será:

 

E para duas variáveis aleatórias:

 
 

Estas propriedades podem ser generalizadas para qualquer número de variáveis aleatórias.

Operador esperançaEditar

O valor esperado de uma combinação linear de variáveis aleatórias é a combinação linear dos seus valores esperados:

 

Por esse motivo, a função E[] que associa a cada variável aleatória o seu valor esperado é um operador linear, chamado de operador esperança.

Esperança do produtoEditar

No caso geral, temos que

 

No caso particular de X e Y serem variáveis aleatórias independentes, temos que:

 

Esperança condicionalEditar

Seja uma variável aleatória   e uma sigma-álgebra   no espaço amostral  . A esperança condicional de X, dado  , é a variável aleatória   tal que

 [1]  .[2]

Esta variável Z tem as seguintes propriedades:

  • Z não contém mais informação que a contida em  . Ou seja, a variável aleatória (que é sempre uma função)   é mensurável com relação a   (=constante em qualquer subconjunto da partição correspondente a  ) [3]
  • Z satisfaz a relação    , onde   é uma variável indicadora, que vale 1 se   e 0 se  .

Referências

  1. SILVA, Marcos Eugênio da. Uma Nota sobre Esperança Condicional e Expectativas Racionais. Disponível em: <http://www.econ.fea.usp.br/medsilva/material/eae0308/textos/Esperanca_Condicional_e_ER1.pdf>
  2. Esperança Condicional. Disponível em: <http://ferrari.dmat.fct.unl.pt/personal/mle/DocMAII/DocMAII0102/espcondicional.pdf>. Acesso em: 05 de abril de 2011.
  3. SILVA, Marcos Eugênio da. Uma Nota sobre Esperança Condicional e Expectativas Racionais. Disponível em: <http://www.econ.fea.usp.br/medsilva/material/eae0308/textos/Esperanca_Condicional_e_ER1.pdf>