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Assuntos a serem estudados:

Geogebra

Trigonometria

Função trigonométrica

Identidades trigonométricas

Número Racional

Número Racional é todo o número que pode ser representado por uma razão ou fraçãoentre dois números inteiros.

O conjunto dos números racionais, representado pelo simbolo $\mathbb {Q}$ é definido por:

$\mathbb {Q} =\left\{{\begin{matrix}{\frac {a}{b}}\end{matrix}}\,|\,a\in \mathbb {Z} \,;\,b\in \mathbb {Z^{*}} \right\}.$

Em outras palavras, o conjunto dos números racionais é formado por todos os quocientes de números inteiros a e b, em que b é não nulo. O uso da letra "Q" é derivado da palavra latina quotiē(n)s ^[1] , cujo significado é quantas vezes .

Exemplos:

$-{\frac {6}{7}}$, $3{\frac {5}{8}}$, $7{,}5$, ${\frac {1}{2}}$.

Há quatro formas de se apresentarem os números racionais: Frações (próprias ou impróprias), números mistos (que é uma variação das frações impróprias), números decimais de escrita finita e, por fim, as dízimas, que são números decimais em cuja escrita aparecem períodos numéricos infinitos. Eis alguns exemplos:

• Fração:${\tfrac {1}{4}}$.

$*$Na Fração ${\frac {a}{b}}$ , $a$ é o numerador e $b$ o denominador. Se $a$ e $b$ são primos entre si, isto é, se $mdc(a,b)=1$, dizemos que essa fração é irredutível.

• Numeral misto: $1{\tfrac {2}{3}}$
• Números decimais de escrita finita: $4,5$
• Dízimas periódicas: $0,333...$ ou $0,{\overline {3}}$

Subconjuntos de $\mathbb {Q}$:

$\mathbb {Q} ^{*}$: conjuntos dos racionais não nulos.

$\mathbb {Q} _{+}$: conjuntos dos racionais não negativos.

$\mathbb {Q} _{+}^{*}$: conjuntos dos racionais positivos.

$\mathbb {Q} _{-}$: conjuntos dos racionais não positivos.

$\mathbb {Q} _{-}^{*}$: conjunto dos racionais negativos.

Propriedades de $\mathbb {Q}$:

Seja ${\frac {a}{b}}$, ${\frac {c}{d}}$ e ${\frac {e}{f}}\in \mathbb {Q}$.

• ADIÇÃO

$i)\left({\tfrac {a}{b}}+{\tfrac {c}{d}}\right)+{\tfrac {e}{f}}={\tfrac {a}{b}}+\left({\tfrac {c}{d}}+{\tfrac {e}{f}}\right)\qquad$Associativa

$ii){\tfrac {a}{b}}+{\tfrac {c}{d}}={\tfrac {c}{d}}+{\tfrac {a}{b}}\qquad$Comutativa

$iii){\tfrac {a}{b}}+0={\tfrac {a}{b}}\qquad$Elemento neutro da soma

SIMÉTRICO PARA A ADIÇÃO

${\tfrac {a}{b}}+\left(-{\tfrac {a}{b}}\right)=0$

• MULTIPLICAÇÃO

$i)\left({\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {c}{d}}\right)\cdot {\tfrac {e}{f}}={\tfrac {a}{b}}\cdot \left({\tfrac {c}{d}}\cdot {\tfrac {e}{f}}\right)\qquad$Associativa

$ii){\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {c}{d}}={\tfrac {c}{d}}\cdot {\tfrac {a}{b}}\qquad$Comutativa

$iii){\tfrac {a}{b}}\cdot 1={\tfrac {a}{b}}\qquad$Elemento neutro da multiplicação

$iv){\tfrac {a}{b}}\cdot \left({\tfrac {c}{d}}+{\tfrac {e}{f}}\right)={\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {c}{d}}+{\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {e}{f}}\qquad$Distributiva

• SIMÉTRICO PARA A MULTIPLICAÇÃO

$\forall$${\frac {a}{b}}\in \mathbb {Q}$ e $\neq 0$, existe ${\frac {b}{a}}\in \mathbb {Q}$, tal que ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}=1$.

Com isso, podemos definir em $\mathbb {Q} ^{*}$ a DIVISÃO, tal que ${\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}$, para ${\frac {a}{b}}$, ${\frac {c}{d}}\neq 0$.

Equivalência de frações

${\tfrac {2}{3}}$ é o mesmo que ${\tfrac {4}{6}}$?

Não, essas frações na verdade representam quantidades iguais, ou seja, são equivalentes.

Quando os denominadores são iguais é fácil identificar se as quantidades representadas por duas frações são iguais, pois

$quant\left\{{\frac {2}{5}}\right\}=quant\left\{{\frac {2}{5}}\right\}$

$quant\left\{{\frac {4}{3}}\right\}\neq quant\left\{{\frac {5}{3}}\right\}$

Agora, quando os denominadores não são iguais usamos a seguinte definição:

Sendo $a,b\neq 0$ e $A,B\neq 0$ números inteiros, dizemos que as frações ${\tfrac {a}{b}}$ e ${\tfrac {A}{B}}$ são frações equivalentes, o que denotamos por:

$quant\left\{{\frac {a}{b}}\right\}=quant\left\{{\frac {A}{B}}\right\}$

Quando, e somente quando, tivermos $a\cdot B=b\cdot A$, ou seja

$quant\left\{{\frac {a}{b}}\right\}=quant\left\{{\frac {A}{B}}\right\}\Longleftrightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {A}{B}}\Longleftrightarrow a\cdot B=b\cdot A$

Exemplos:

${\frac {2}{5}}={\frac {4}{10}}={\frac {6}{15}}={\frac {8}{20}}\cdots$

${\frac {-1}{2}}={\frac {2}{-4}}={\frac {-3}{6}}\cdots$

${\frac {4}{3}}={\frac {8}{6}}={\frac {12}{9}}={\frac {16}{12}}\cdots$

Propriedades de equivalência de frações:

$i){\frac {a}{b}}={\frac {a}{b}}\quad$ Reflexiva

$ii){\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\Rightarrow {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\quad$ Simétrica

$iii){\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ e ${\frac {c}{d}}={\frac {e}{f}}\Rightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {e}{f}}\quad$ Transitiva

Classe de Frações

A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes à fração dada. Usualmente trabalhamos com a fração irredútivel deste conjunto. A cada classe de equivalência de fração associamos um número racional.

Classe significa o mesmo que conjunto e é usada quando um conjunto de objetos matemáticos são, de alguma maneira, todos equivalentes entre si.

Exemplo: $r=\left\{{\frac {1}{2}},{\frac {2}{4}},{\frac {3}{6}}\cdots \right\}$, neste caso $r=0,5$

O número zero racional consiste na classe $\left\{{\frac {0}{1}},{\frac {0}{2}},\cdots {\frac {0}{-1}},{\frac {0}{-2}},\cdots \right\}$. Ele é o único número racional que tem representações fracionárias, tanto com numerador e denominador de sinais iguais, como de sinais opostos.

Ordenação dos Racionais

A relação de ordem entre números racionais sempre é estabelecida a partir de representações fracionárias de denominadores positivos.

Dados dois números racionais $r={\tfrac {a}{b}}$ e $s={\tfrac {c}{d}}$

${\frac {a}{b}}>{\frac {c}{d}}\Longleftrightarrow a\cdot d>c\cdot b$

TEOREMA: 

O campo $[\mathbb {Q} ,+,\cdot ,<]$ tem a estrutura de campo ordenado, ou seja, é um corpo no qual a relação de ordem verifica as duas seguintes propriedades:

Sendo $r,s,t\in \mathbb {Q}$

$i)\quad r<s\Longleftrightarrow r+t<s+t\qquad \forall \quad t\in \mathbb {Q}$

$(\Leftarrow )r+t+(-t)<s+t+(-t)$

$\qquad r+0<s+0$

$\qquad r<s$

$ii)\quad r<s\Longleftrightarrow r\cdot t<s\cdot t\qquad \forall \quad t>0$

$(\Leftarrow )r\cdot t\cdot {\frac {1}{t}}<s\cdot t\cdot {\frac {1}{t}}$

$\qquad r\cdot {\frac {t}{t}}<s\cdot {\frac {t}{t}}$

$\qquad r<s$

Propriedade arquimediana em $\mathbb {Q}$

Dado um número racional $\alpha >0$, para cada escolha de $r\in \mathbb {Q}$, sempre é possível encontrar  $m\in \mathbb {N}$, tal que $r<m\cdot \alpha$

$r={\frac {8}{3}}$ e $\alpha ={\frac {1}{2}}$, onde $m$ é o menor possível.

${\frac {8}{3}}<m\cdot {\frac {1}{2}}$  

$(2)\cdot {\frac {8}{3}}<m\cdot {\frac {1}{2}}\cdot (2)$

${\frac {16}{3}}<m\cdot {\frac {2}{2}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {16}{3}}<m$

Sabemos então que quando $m={\tfrac {16}{3}}$, $m\cdot \alpha =r_{1}$, porém não temos como determinar o menor racional que seja maior que ${\tfrac {16}{3}}$. Então basta tomarmos um $m>{\tfrac {16}{3}}$. Por exemplo: ${\tfrac {17}{3}}$.

${\frac {8}{3}}<{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {17}{3}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {8}{3}}<{\frac {17}{6}}$

Densidade dos Racionais

Um conjunto $\mathrm {A}$ de números racionais é dito denso (em $\mathbb {Q}$) se entre dois quaisquer  elementos distintos de $\mathbb {Q}$ existam infinitos elementos de $\mathrm {A}$, ou seja, entre os dois elementos de $\mathbb {Q}$ dados, existem infinitos intermediários que estão em $\mathrm {A}$.

TEOREMA:

A média aritmética de quaisquer dos números racionais sempre é um número intermediário entre eles. Se $r<s\in \mathbb {Q}$.

Hipótese: $r<s$.

Tese: $r<{\frac {r+s}{2}}<s$

Temos que $r+r=2r$ e $s+s=2s$

Então, $2r<r+s<2s$

$\Rightarrow {\frac {1}{2}}\cdot 2r<{\frac {1}{2}}\cdot (r+s)<{\frac {1}{2}}\cdot 2s$

$\Rightarrow {\frac {2}{2}}r<{\frac {r+s}{2}}<{\frac {2}{2}}s$

$\Rightarrow r<{\frac {r+s}{2}}<s$

Representação Decimal

Podemos passar um número racional ${\tfrac {a}{b}}$ para a forma decimal dividindo o inteiro $a$ pelo inteiro $b$, com isso podemos obter dois casos:

$1^{\circ })$ Um número decimal que tem uma quantidade finita de algarismos, diferentes de zero, isto é, uma decimal exata. Exemplos:

${\frac {5}{1}}=5$, ${\frac {1}{20}}=0,05$ e ${\frac {27}{1000}}=0,027$

$2^{\circ })$ Um número decimal que tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente, isto é, uma dízima periódica. Exemplos:

${\frac {1}{3}}=0,333\cdots =0,{\bar {3}}\quad \Rightarrow$ dízima periódica simples

${\frac {2}{7}}=0,285714285714\cdots =0,{\overline {285714}}\quad \Rightarrow$ dízima periódica simples

${\frac {11}{6}}=1,8333\cdots =1,8{\bar {3}}\quad \Rightarrow$ dízima periódica composta

Todo número na forma de decimal exata ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração ${\tfrac {a}{b}}$, portanto, representa um número racional.

Quando a decimal é exata, podemos escrevê-lo em forma de fração, cujo numerador é o numeral decimal sem a vírgula e, cujo denominador é o algarismo $1$ seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado. Exemplo:

$0,37={\frac {37}{100}}$

$2,631={\frac {2631}{1000}}$

Quando a decimal é uma dízima periódica, temos que procurar sua geratriz. Exemplos:

$i)\quad 0,777\cdots$

${\begin{aligned}x&=0,777\cdots \\10x&=7,777\cdots \\\end{aligned}}{\bigg \}}\Rightarrow 10x-x=7,777-0,777\Rightarrow 9x=7\Rightarrow x={\frac {7}{9}}$

$ii)\quad 6,4343\cdots$

${\begin{aligned}x&=6,434343\cdots \\100x&=643,434343\cdots \\\end{aligned}}{\bigg \}}\Rightarrow 100x-x=643-6\Rightarrow 99x=637\Rightarrow x={\frac {637}{99}}$

$iii)\quad 2,57919191\cdots$

$x=2,57919191\cdots$

${\begin{aligned}100x&=257,919191\cdots \\10000x&=25791,919191\cdots \\\end{aligned}}{\bigg \}}\Rightarrow 10000x-100x=25791-257\Rightarrow 9900x=25534\Rightarrow x={\frac {25534}{9900}}$