Usuário(a):Sebastiao.rocha/Esboços

Na física do estado sólido, a estrutura eletrônica de bandas, ou simplesmente estrutura de bandas, refere-se à forma da relação entre a Energia e o momento de um elétron em um cristal.

Introdução

A caracteristica mais importante desta relação de dispersão em cristais é que existem valores de energia não permitidos para o elétron. Isto é, se você pudesse observar a energia de todos os elétrons em um cristal e as marca-se em um linha, você observaria que certas faixas de valores não estariam presentes. Estas faixas de energia desaparecidas são chamadas de gap de energia e tem origem na interferência entre as funções ondas elétrônicas, seus spins e a periodicidade do cristal.

A relação de dispersão de um elétron livre, isto, fora do cristal e não confinado em uma região onde efeitos quânticos seja relevantes, pode ser deduzida da sua energia cinética:

$E_{c}={\frac {1}{2}}m\ v\cdot v$

Como o momento deste elétron é:

${\frac {}{}}p=mv$

Basta substitui-lo na energia cinética para obtermos a relação de dispersão de um elétron livre:

$E_{c}={\frac {1}{2m}}p\cdot p$

Isto é a energia do elétron cresce com o quadrado de seu momento, e todos os valores de energia são possíveis. Não existe gap de energia para elétrons livres, uma vez que nenhum restrição ou interferência ao movimento do elétron existe.

Se você considerar uma caixa cheia de elétrons, um mol deles, você terá uma aproximação muito boa do que é um metal onde os eletrons podem ter quaisquer valores para sua energia.

Para ser exato o fato dos elétrons estarem confinados na caixa impõe uma restrição às energias possíveis. Devido à efeitos da quantização eles passam a ocupar níveis de energia discretos. Neste caso o espaçamento entre os niveis é proporcional a $\hbar ^{2}/(mL^{2})$ onde L é o comprimento da caixa. Isto é infinitamente menor que as energias que estamos interessados, na faixa de eletron Volts. Por esta razão mesmo no caso de cristais nos consideramos que a energia do elétron varia de forma contínua dentro das regiões onde estas energias existem.

No entando um outro comprimento é extremamente importante no sólidos, a distância entre seus atómos, chamada parâmetro de rede. Esta distância tem papel crucial no aparecimento das bandas de energia proíbidas dentro de um sólido.

Efeitos da estrutura cristalina

Para entender o aparecimento do gap de energia devido a interação dos elétrons com os átomos do cristal é preciso entender o que acontece com um elétron em uma estrutura periódica. Um cristal é constítuido por partes iguais, chamadas células cristalinas (ou as vezes células unitárias), que se repetem espacialmente em todas as direções, como um piso de ladrilhos, onde cada célula seria equivalente a um ladrilho. Existem apenas algumas maneiras de se preencher o espaço tridimensional com estruturas periódicas compostas por células cristalinas, 14 para ser exato. Este limite de 14 tipos foi descoberto por Bravais e por isto estas estruturas levam o seu nome. Estas estruturas periódicas são chamadas de Redes de Bravais.

O efeito geral para um elétron em uma estrutura destas, isto é em um rede de Bravais, é que ao sair de uma célula e entrar na próxima as propriedades fisícas, campos elétricos, posicionamento dos átomos, etc, repetem-se novamente, como em uma sala de espelhos. Esta simetria tem consequências importantes nas equações que governam os életrons no cristal. Isto que foi dito pode ser expresso matemáticamente, dizendo-se que a função que governa o comportamento de um elétron em um cristal deve ser periódica. Isto é, se $\Psi ({\vec {x}})$ é a função que descreve um elétron em um cristal, qualquer que seja ela, seu valor deve ser o mesmo se alterarmos a posição de um distância multipla da largura da célula cristalina. Isto é:

$\Psi ({\vec {x}})=\Psi ({\vec {x}}+{\vec {R}})$

onde ${\vec {R}}$ é qualquer distância múltipla de uma das larguras relevantes da célula cristalina (se você olhar nas redes de Bravais, existem mais de uma distância periódica relevante). Este vetor pode ser escrito de forma mais geral como:

${\vec {R}}=n_{1}{\vec {a}}_{1}+n_{2}{\vec {a}}_{2}+n_{3}{\vec {a}}_{3},$

onde ${\frac {}{}}n_{1},n_{2}\ e\ n_{3}$ são números inteiros. Os vetores ${\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},{\vec {a}}_{3}$ tem seu comprimento, direção e sentido fixados assim que escolhemos qual a estrutura de Bravais queremos estudar.

Os efeitos da periodicidade de uma cristal são muito importantes e é utilizado em difração de raios x para se descobrir a estrutura cristalina do material.

A desenvolver

Relação com Lei de Bragg

Influência do Potêncial periódico na forma da função de onda

Métodos de cálculo da estrutura eletrônica

Existem várias maneiras de se estudar o aparecimento de bandas de energia em um sólido:

Método de elétrons quase livres

Considere um gás de elétrons presos em uma caixa do tamanho do sólido que você esta interessado. Esta é uma ótima aproximação de um metal. Devido ao princípio de exclusão de Pauli e a efeitos de blindagem, os níveis de energia antes disponíveis, podem algora apresentar gaps pequenos. Esta é a idéia básica para a se estudar a estrutura eletrônica de banda de elétrons quase livres.

Método de Tight Binding

Considere os átomos que formam o seu sólido e a estrutura eletrônica dos elétrons nestes átomos. Imagine que os átomos de seu solido estão muito separados, um distância grande o suficiente para que os elétrons em orbita de uma átomo não percebam a presença de outros elétrons em outros átomos. Se agora, em teoria, você começar a diminuir a distância entre estes átomos em algum momento os eletrons começarão a interagir. Os elétrons mais exteriores com certeza serão muito mais afetados pela presença dos outros átomos que os elétrons nas camadas mais internas. Usando as estrutura elêtronica átomica original e esta interação é possível calcular-se as alterações causadas no niveis atômicos e observar o aparecimento de bandas de elétrons e gaps de energia. Este é a ideias utilizada na teoria de tight binding (tradução por favor...) para a estrutura eletrônica de bandas.

Outros métodos importantes são o método k.p (lê-se k escalar p), e métodos com funções de Green

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