Usuário:Lechatjaune/Método das diferenças finitas
Muitas vezes dispomos de um conjunto de pontos, e precisamos, por algum motivo, da informação que a derivada destes pontos pode nos fornecer, como em muitos casos de pesquisa tecnológica e de laboratórios. O Método das Diferenças Finitas é uma maneira de obter a derivada de um conjunto de pontos sem conhecer a função que passa por esses pontos, apenas utilizando Série de Taylor. Esse método pode ser separado de 3 maneiras diferentes:
- Diferenças Progressivas;
- Diferenças Regressivas;
- Diferenças Centrais.
Um pouco de história
editarDiferenças foram popularizadas e usadas por Isaac Newton no século XVII, mas essas técnicas também foram usadas anteriormente por Thomas Harriot (1561-1621) e Henry Briggs (1561-1631). Enquanto Harriot realizou avanços significativos em técnicas de navegação, Briggs foi o responsável pela aceitação dos logaritmos como auxílio nos cálculos.
Expansão em Série de Taylor
editarA expansão em série de Taylor de uma função pode ser expressa da seguinte forma:
E a derivada f'(x) num ponto x, é:
E se for suficientemente pequeno e diferente de zero(para evitar cancelamento catastrófico), podemos aproximar a derivada no ponto por:
Diferenças Progressivas
editarSe queremos derivar uma função entre dois pontos e , então , a aproximação da derivada fica:
Se for maior do que 0, essa fórmula é conhecida como diferenças progressivas.
0BS.:Em tempo, cabe observar que é exatamente a diferença entre os dois pontos onde queremos aproximar a derivada.
Diferenças Regressivas
editarDo mesmo modo que aproximamos a derivada podemos aproximar, de maneira semelhante, e ,temos:
Se for menor do que 0, essa fórmula é conhecida como diferenças regressivas
Diferenças Centrais
editarEssa é outra aproximação para derivadas, utilizando um ponto central, entre os quais queremos aproximar a derivada:
Comparação dos Métodos: Um exemplo
editarSuponha, agora, que o nosso objetivo é aproximar a derivada de , para . Observe na tabela abaixo o que acontece quando diminuímos o intervalo entre os pontos que vamos aproximar a derivada, ou seja, o :
h | Valor Exato | Progressivas | Regressivas | Centrais |
---|---|---|---|---|
0.1 | 0,5403023 | 0,4973638 | 0.5814408 | 0.5394023 |
0.01 | 0,5403023 | 0,5360860 | 0,5445006 | 0.540293 |
Fica fácil de ver que se diminuímos o intervalo, a aproximação fica mais próxima do valor exato, isso se deve ao menor erro tanto de truncamento, como de arredondamento associados ao cálculo numérico.
Erro de Truncamento
editarO erro de truncamento associado ao problema, se dá da seguinte forma:
de outra forma:
Erro de Arredondamento
editarQuando aplicamos uma precisão nos cálculos, surge um erro de arredondamento, nesse caso dado por:
isto é,
Ver também
editarBibliografia
editarBURDEN, L. Richard. FAIRES, Douglas. J. Análise Numérica. 8ª Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2008. ISBN 978-85-221-0601-1