Álgebra de Hopf

Em matemática, uma álgebra de Hopf, assim chamada em referência a Heinz Hopf, é uma estrutura que é simultaneamente uma álgebra (associativa unital), uma co-álgebra, e tem um anti-automorfismo, com estas estruturas compatíveis.

Álgebras de Hopf ocorrem naturalmente na topologia algébrica, onde elas se originaram e estão relacionadas com o conceito de H-espaço, na teoria de esquemas de grupo, na teoria de grupos (através do conceito de anel de grupo), e em diversos outros lugares, tornando-as talvez o tipo mais familiar de bi-álgebra. Álgebras de Hopf também são estudadas por si só, com muito trabalho tanto em classes específicas de exemplos quanto em problemas de classificação.

Definição formal

Formalmente, uma álgebra de Hopf é uma bi-álgebra H sobre um corpo K juntamente com uma aplicação K-linear $S\colon H\to H$ (chamada de antípoda) tal que o seguinte diagrama comuta:

Aqui, Δ é a co-multiplicação da bi-álgebra, ∇ sua multiplicação, η sua unidade e ε sua co-unidade. Na notação sem somas de Sweedler, esta propriedade pode ser expressa como

$$S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\epsilon (c)1\qquad {\mbox{para todo}}c\in H.$$

Como se faz com álgebras, pode-se substituir na definição acima o corpo subjacente K por um anel comutativo R.

A definição de álgebra de Hopf é auto-dual (como reflexo da simetria do diagrama anterior), de modo que se for definido um dual de H (que é sempre possível se H tiver dimensão finita), então ele é automaticamente uma álgebra de Hopf.

Referências

• Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras^{[ligação inativa]}, IHES preprint, September 2006, 81 pages
• Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992), Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X
• H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22-52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119–151, Springer, Berlin (1964). MR4784
• Ross Moore, Sam Williams and Ross Talent: Quantum Groups: an entrée to modern algebra
• Sorin Dăscălescu, Constantin Năstăsescu, Șerban Raianu. Hopf Algebras: An introduction. CRC Press, 2001. 420p. ISBN 0824704819