Espaço dual

Em matemática, qualquer espaço vetorial V sobre um corpo K pode ser associado a um espaço dual, consistindo dos funcionais lineares .

Quando V é um espaço vetorial topológico, considera-se o espaço dos funcionais lineares contínuos.

A existência de um espaço vetorial 'dual' reflete de uma maneira abstrata a relação entre os vetores linha (1×n) e os vetores coluna (n×1) de uma matriz. A construção pode se dar também para os espaços infinito-dimensionais e dá lugar a modos importantes de ver as medidas, as distribuições e o espaço de Hilbert. O uso do espaço dual é, assim, de uma certa maneira, recurso da análise funcional. É também inerente à transformação de Fourier.

Espaço dual algébricoEditar

O espaço dual é um espaço vetorialEditar

O espaço dual de um espaço vetorial   sobre um corpo   é costumeiramente denotado   ou   e também é um espaço vetorial sobre o mesmo corpo uma vez definida as operações de soma e multiplicação por escalar como:

 
 

Para todo   em  ,   em   e   em  .

Caso de dimensão finitaEditar

Se V é um espaço vetorial de dimensão finita, então V* tem a mesma dimensão de V. Seja   uma base de V, então a base dual é dada pelo conjunto   onde:

 

ExemplosEditar

Se a dimensão de V é finita, então V* tem a mesma dimensão que V; se { e1,..., e n} é uma base para V, então a base dual associada { e¹,...,e n} de V* é dada por:

 

Específicamente, se é interpretado Rn como espaço de colunas de n números reais, seu espaço dual é escrito tipicamente como o espaço de linhas de n números. Tal linha atua em Rn como funcional linear pela multiplicação ordinária de matrizes.


O espaço dual de um espaço de Hilbert é isomórfico ao próprio espaçoEditar

Seja   um espaço de Hilbert. O teorema da representação de Riesz afirma que se   é um funcional linear contínuo então existe um   tal que:

 .

Ligações externasEditar