Espaço dual

Em matemática, qualquer espaço vetorial sobre um corpo pode ser associado a um espaço dual, denotado , consistindo dos funcionais lineares . Quando é um espaço vetorial topológico, considera-se também o espaço dos funcionais lineares contínuos, chamado espaço dual topológico. Nesse caso, geralmente o espaço dual é chamado de espaço dual algébrico .

A existência de um espaço vetorial 'dual' reflete de uma maneira abstrata a relação entre os vetores linha (1×n) e os vetores coluna (n×1) de uma matriz. A construção pode se dar também para os espaços infinito-dimensionais e dá lugar a modos importantes de ver as medidas, as distribuições e o espaço de Hilbert. O uso do espaço dual é, assim, de uma certa maneira, recurso da análise funcional. É também inerente à transformação de Fourier.

Espaço dual algébricoEditar

O espaço dual é um espaço vetorialEditar

O espaço dual de um espaço vetorial   sobre um corpo   é costumeiramente denotado   ou   e também é um espaço vetorial sobre o mesmo corpo uma vez definida as operações de soma e multiplicação por escalar como:

 
 

Para todo   em  ,   em   e   em  .

Caso de dimensão finitaEditar

Se   é um espaço vetorial de dimensão finita, então   tem a mesma dimensão de  . Seja   uma base de  , então a base dual é dada pelo conjunto   onde:[1]

 
Prova

Primeiramente, veja que   é linear. Sejam   tais que   e   (ou seja,   e  ). Logo,   e  . Portanto,   para  .

Além disso, suponha que  . Aplicando esse funcional nos vetores da base de   sucessivamente, conclui-se que   (o funcional aplicado em   resulta em  ). Portanto,   é linearmente independente em  .

Por fim, considere  . Então

 

  gera  . Portanto,   é base de  .

ExemplosEditar

Se a dimensão de   é finita, então   tem a mesma dimensão que  ; se   é uma base para V, então a base dual associada   de   é dada por:

 

Específicamente, se é interpretado   como espaço de colunas de   números reais, seu espaço dual é escrito tipicamente como o espaço de linhas de   números. Tal linha atua em   como funcional linear pela multiplicação ordinária de matrizes.

Duplo dual algébricoEditar

Dado um espaço vetorial  , sempre podemos considerar seu duplo dual  , que consiste em todos os funcionais lineares  . Existe um homomorfismo canônico entre   e  , ou seja, existe uma transformação  , definida por

 

que é linear. Além disso,   é sempre injetora e é um isomorfismo entre os espaços vetoriais   e  . Note, porém, que em geral  ; de outro modo, pode ser que existam   tais que   para todo  .

Espaço dual topológicoEditar

Quando se tem, além da estrutura de espaço vetorial, uma topologia compatível com as operações de soma e multiplicação por escalar (espaço vetorial topológico), os funcionais lineares mais interessantes passam a ser os contínuos. O conjunto dos funcionais lineares contínuos, chamado de espaço dual topológico (ou simplesmente espaço dual) e denotado  , é um subespaço do espaço dual algébrico  .

O espaço dual de um espaço de Hilbert é isomórfico ao próprio espaçoEditar

Seja   um espaço de Hilbert. O teorema da representação de Riesz afirma que   é um funcional linear contínuo se, e somente se, existe um   tal que

 .

Duplo dual topológicoEditar

Dado um espaço vetorial normado  , sempre podemos considerar seu duplo dual  , que consiste em todos os funcionais lineares contínuos  . Existe um homomorfismo canônico entre   e  , ou seja, existe uma transformação  , definida por

 

que é linear. Além disso,   é sempre injetora, limitada e isométrica ( ), este último fato sendo uma consequência do teorema de Hahn-Banach. Por isso,   é um isomorfismo entre os espaços normados   e  . Note, porém, que em geral  ; de outro modo, pode ser que existam   tais que   para todo  .

Caso valha, de fato, que  , o espaço   é dito ser reflexivo. Exemplos de espaços reflexivos são os espaços de Hilbert e os de dimensão finita.[2]

Referências

  1. Bueno, Hamilton Prado (2006). Álgebra Linear - um segundo curso. [S.l.]: SBM. ISBN 858581831X 
  2. Kreyszig, Erwin (1989). Introductory Functional Analysis with Applications. [S.l.]: John Wiley & Sons 


Ligações externasEditar