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Em matemática, álgebra multilinear amplia os métodos da álgebra linear. Assim como a álgebra linear é construída sob o conceito de um vetor e desenvolve a teoria de espaços vetoriais, a álgebra multilinear baseia-se no conceito de um tensor e desenvolve a teoria de espaços tensoriais.

Aplicações MultilinearesEditar

DefiniçãoEditar

Sejam   espaços vetoriais sobre um corpo  . Uma aplicação   é dita multilinear (ou k-linear) se ela é linear em cada uma de suas componentes, isto é, se para todos   e  , valem

 
 

É comum encontrar a definição trabalhando sobre  -módulos, em que   é um anel comutativo com unidade, ao invés de sobre um corpo  . Neste caso a definição é exatamente a mesma.

ExemplosEditar

  1. Toda transformação linear é um caso particular de uma aplicação 1-linear. Qualquer aplicação   nula, para quaisquer espaços   (sobre um mesmo corpo) é k-linear.
  2. Seja   um corpo qualquer e   um inteiro positivo qualquer.   admite uma estrutura de espaço vetorial sobre ele mesmo. Defina   por   o produto dos elementos  . É fácil verificar que esta aplicação é m-linear.
  3. Mais geralmente, seja   um espaço vetorial sobre   (não necessariamente de dimensão finita) e fixe   funcionais lineares quaisquer. Então a aplicação  , definida por   é n-linear, como pode ser verificado facilmente.
  4. Sejam   inteiros positivos. Os conjuntos   e  , de todas as matrizes   e  , respectivamente, sobre o corpo  , formam um  -espaço vetorial. Fixe uma matriz  ,   com coeficientes em  , e defina a aplicação   por
     
    das propriedades de produto (usual) de matrizes (herdadas da estrutura de  ), segue que   é uma aplicação 2-linear (ou bilinear).
  5. Considere o espaço  . Se   são vetores (representados na base canônica), então a aplicação  , definida por
     
    é n-linear, como pode ser verificado das propriedades clássicas de determinante. Este exemplo é importante porque é, em certo sentido, a única aplicação multilinear alternada.
  6. Este é um importante exemplo. Sejam    -espaços vetoriais,   k-lineares e  . É fácil verificar que as aplicações   e  , definidas por
     
     
    são k-lineares. Este exemplo mostra que o espaço de todas as aplicações k-lineares de   para   é um subespaço vetorial, do espaço de todas as aplicações nestes domínio e contradomínio. Costuma-se denotar este espaço por  ; quando temos um mesmo espaço   repetido k vezes, denota-se simplesmente por  ; e quando o contradomínio é o corpo de escalares, denota-se simplesmente por   ou  .

Obs.: Todos os exemplos acima ainda valem, trocando " -espaço vetorial" por " -módulo" e "corpo  " por "anel comutativo com unidade  ", e a verificação da multilinearidade é exatamente a mesma em ambos os casos.

Construção UniversalEditar

Obs.: Tudo o que será feito adiante ainda valerá trocando os nomes " -espaço vetorial" por " -módulo" e "corpo  " por "anel comutativo com unidade  ". Isto se deve ao fato de todas as propriedades utilizadas dos espaços vetoriais serem exigidos nos R-módulos (os espaços vetoriais são um caso particular de módulo - módulos sobre corpos). Uma propriedade que um espaço vetorial carrega e um R-módulo geral não é a divisão por escalar não nulo, isto é, num corpo qualquer sempre podemos dividir por qualquer elemento não nulo, mas num anel comutativo com unidade geral não. Por exemplo em  , nem sempre podemos dividir por  .

Considere o seguinte enunciado universal: "dados   espaços vetoriais sobre  , existe um par  , em que   é um  -espaço vetorial e   é k-linear, tal que, dada qualquer   k-linear, existe única   linear satisfazendo  ."
O par   "transforma" qualquer aplicação k-linear em uma aplicação linear. A construção do par   pode ser feita da seguinte maneira:

Chame de   ao espaço vetorial formal gerado pelos elementos   sobre o corpo  , isto é, os elementos de   são somas finitas de elementos da forma  , em que   e  , ou seja, o produto de um elemento do corpo com um elemento de  . Por exemplo, em  ,   e   são elementos distintos em  . No primeiro par, o primeiro elemento é a soma formal de dois elementos do produto   e o segundo elemento é um único elemento em  , e são totalmente diferentes. No segundo par, o primeiro elemento é 1 multiplicado por um elemento, e o segundo, é 2 multiplicado por um outro elemento, e são totalmente diferentes.
Considere o subespaço   gerado pelos seguintes elementos:

 
 

em que variam   e  . Defina o espaço quociente   e a aplicação   de forma canônica. Por construção teremos   k-linear, e afirmamos que o par   é o par que resolve o enunciado universal.

De fato, seja   k-linear qualquer. Defina a aplicação  , em que se  , então  . Assim sendo,   pode ser estendida por linearidade sobre  , e então, definida unicamente em  . Note que por   ser k-linear,   está bem definida. Por construção temos  . Além disso, suponha   também satisfazendo  . Então, em particular,   coincidem em todos os elementos  , e então,  . Isso conclui a construção.

Desta construção, temos que o par   é único. De fato, se   é outro par que satisfaz o enunciado universal, então, por   ser k-linear, existe   linear tal que  . Do mesmo modo, existe   linear tal que  . Destas relações, segue que  , em que   é a identidade em  . Pela unicidade de   (pois deve existir uma única aplicação linear   tal que  ), teremos necessariamente  . Da mesma forma teremos  , de onde se conclui que   é um isomorfimos com inversa  . Daí   e   são isomorfos, e tem-se a unicidade.

Produto tensorialEditar

Existem muitas maneiras (equivalentes) de definir "produto tensorial". Apresentaremos alguns. Como de costume, tudo o que for feito poderá ser repetido trocando os termos " -espaço vetorial" por " -módulo" e "corpo  " por "anel comutativo com unidade  ". A única exceção é quando fizermos referência à base de espaço vetorial, pois devemos exigir "anel comutativo com unidade livre".

Construção universalEditar

Sejam   espaços vetoriais sobre um corpo  . Considere o (único) par   que resolve o enunciado universal acima. O produto tensorial de   é definido como o espaço vetorial  , e é denotado por  . Se  , então denota-se   por  

Proposição: Seguindo a notação acima, os elementos   geram o espaço  , variando os elementos  
Demonstração: Chame de   o subespaço de   gerado pelos elementos  , como no enunciado, e considere o espaço quociente  . Isto induz uma aplicação multilinear   (a projeção natural), e considere a aplicação nula  . Note que  , e por construção de  , necessariamente  , donde se conclui a afirmação.

Corolário: Se   formam uma base para  ,  , então os elementos   geram  , para  .

Construção ConcretaEditar

Sejam    -espaços vetoriais e considere   os seus duais algébricos. O produto tensorial de  , denotado por  , é o  -espaço vetorial gerado pelos elementos   (produto de funções), em que se variam  .

Ver tambémEditar