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Espaço vetorial

estrutura matemática formada por uma coleção de elementos chamados de vetores
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Ilustração artística de um espaço vetorial
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Um dos conceitos básicos em álgebra linear é o espaço vetorial ou espaço linear.

A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, juntamente com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto.[1]

Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas abaixo. Polinômios de grau menor ou igual a () formam um espaço vetorial,[2] por exemplo, assim como grupos de matrizes [3] e o espaço de todas as funções de um conjunto no conjunto R dos números reais.

Índice

DefiniçãoEditar

Um espaço vetorial é uma entidade formada pelos seguinte elementos:

  1. Um corpo   ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, elemento inverso, etc. cujos elementos serão chamados de escalares.[4][1] Os números reais, em relação à adição e multiplicação, são um exemplo de corpo.
  2. Um conjunto   dotado de uma operação binária (representada aqui pelo sinal  ) de   em   Os elementos de   serão chamados de vetores.[4][1]
  3. Uma operação   de   em  

Observação: na definição acima e nas propriedades abaixo, são usados os símbolos de soma ( ) e produto ( ) para representar, em cada caso, duas funções distintas:   para elementos de   não é o mesmo que   para elementos de   assim como   para elementos de   não é o mesmo que   quando   ∈   e   ∈   Caso possa haver confusão, recomenda-se o uso de símbolos diferentes para essas operações, por exemplo usar   para as operações de   e   para as operações de   em   e de   em   Neste caso, costuma-se dizer que o espaço vetorial é a sêxtupla ordenada (a generalização de par ordenado, mas com seis elementos)  

Os seguintes axiomas (além de   ser um corpo) devem valer para que os elementos acima constituam um espaço vectorial:[5][1]

  1.   para   (associatividade)
  2. Há um elemento   ∈   tal que, para cada   ∈     (existência de elemento neutro)
  3. Para cada   ∈   existe   ∈   tal que   (existência de elemento oposto)
  4. Para cada   ∈     (comutatividade)
  5. Para cada   ∈   e cada   ∈     (associatividade da multiplicação por escalar)
  6. Se   é a unidade de   então, para cada   ∈     (existência do elemento neutro em  )
  7. Para cada   ∈   e cada   ∈     (distributiva de um escalar em relação à soma de vetores)
  8. Para cada   ∈   e cada   ∈     (distributiva da soma de escalares em relação a um vetor)

Os axiomas de 1 a 4 mostram que com relação a operação de adição um espaço vetorial é um grupo abeliano. O elemento    cuja existência é garantida pelo terceiro axioma é único (como em qualquer grupo) e representa-se por  

O conceito de espaço vetorial (e os vetores como seus elementos) é inteiramente abstrato, como os conceitos de grupos, anéis, corpos, etc. Para determinar se um conjunto   é um espaço vetorial, temos apenas que especificar o conjunto, o corpo   e definir adição em   e multiplicação por escalar em   Então se   satisfizer as condições acima ele será um espaço vetorial sobre o corpo  

Em uma demonstração rigorosa, os axiomas 2 e 3 (elemento neutro e elemento oposto em  ) podem ser omitidos, porque eles podem ser facilmente deduzidos a partir dos outros axiomas:

  • Sejam 0 e 1 os elementos neutros aditivo e multiplicativo de   Então, como   qualquer que seja  , temos que  , ou seja,   é o elemento neutro de  
  • Em  , existe um elemento   tal que   Logo,  , ou seja,   é o elemento oposto de  

ExemplosEditar

  • Seja   formado por um único elemento   Então, definindo-se   e   para todo elemento   de um corpo   temos que   é um espaço vetorial com   como corpo de escalares. Obviamente, como   é o elemento neutro de   isto é,   este espaço vetorial é representado por  
  • Outro exemplo simples é considerar   e as operações de espaço vetorial sendo as mesmas operações do corpo.
  • Seja   o conjunto dos pares ordenados de elementos de   Então, definindo-se   e  , temos que   é um espaço vetorial.
  • Seja   um conjunto qualquer (chamado, neste contexto, de conjunto de indices). Então o conjunto das funções de   em   é um espaço vetorial, definindo-se naturalmente a soma de duas funções e o produto de um escalar por uma função.
  • Este último exemplo é, de forma geral, a forma de qualquer outro espaço vetorial, porém este resultado requer, em sua demonstração, conceitos abstratos como a teoria das categorias e o axioma da escolha.

PropriedadesEditar

  • Se   então  [6] Isto é assim porque
     
  • Se   ∈     Isto é assim porque
     
  • Se   ∈   e   ∈   então  [6] Isto é assim porque
     

TerminologiaEditar

  • Um espaço vetorial sobre   o conjuntos dos números reais, é chamado espaço vetorial real.
  • Um espaço vetorial sobre   o conjuntos dos números complexos, é chamado espaço vetorial complexo.
  • Um espaço vetorial com um conceito definido de comprimento, isto é uma norma definida, é chamado espaço vectorial normado.

Tipos de espaços vectoriaisEditar

Ver tambémEditar

Referências

  1. a b c d Noble & Daniel, 1986, p. 85–86
  2. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 46
  3. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 45
  4. a b Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 47
  5. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 44
  6. a b Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 50
  7. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 159

BibliografiaEditar

  • Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual. ISBN 9788570562975 
  • Noble, Ben; James W. Daniel (1986). Álgebra Linear Aplicada. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil. ISBN 9788570540225 

Ligações externasEditar

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
  Definições no Wikcionário
  Livros e manuais no Wikilivros