Fecho algébrico

Dado um corpo F, dizemos que uma extensão E de F é um fecho algébrico de F quando E é uma extensão algébrica que é algebricamente fechada, isto é, contém todas as raizes de polinómios com coeficientes em F.

Em certo sentido (isomorfismo), cada corpo F tem apenas um fecho algébrico pelo que este é por vezes referido como o fecho algébrico de F.

Teoremas

• Unicidade: se dois corpos $E_{1}$ e $E_{2}$ são fechos algébricos de F, então eles são isomorfos.
• Existência: o axioma da escolha permite construir o fecho algébrico de qualquer corpo.

Exemplos

• O fecho algébrico do corpo dos números racionais é chamado de conjuntos dos números algébricos. Nem todo número algébrico é real (as soluções de x² + 1 = 0, por exemplo), e nem todo número real é algébrico (estes números são chamados de números transcendentes reais; e e pi são exemplos).
• O fecho algébrico do corpo dos números reais é o corpo dos números complexos.

Ligações externas

• Algebraic Closure - MathWorld (em inglês)

Referências

• Martin, Paulo A. (2010). Grupos, Corpos e Teoria de Galois. São Paulo: Livraria da Física. p. 228--231. ISBN 9788578610654 
• Fraleigh, John B. (1994). A First Course in Abstract Algebra (em inglês) 5 ed. [S.l.]: Addilson-Wesley. p. 418--420. ISBN 0201534673