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Corpo (matemática)

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Em matemática, um corpo ou campo é um anel comutativo com unidade em que todo elemento diferente de 0 possui um elemento inverso com relação à multiplicação.

Índice

Definição formalEditar

Mais formalmente, um anel comutativo   com unidade é chamado de corpo se:

 

Resulta da comutatividade de   que o   da definição anterior também satisfaz a condição   Por outro lado, só pode haver um único   naquelas condições. De facto, se   e   forem tais que   então

 

Este elemento   designa-se por inverso de   e representa-se por  

Um corpo   não tem divisores de zero. Efectivamente, se   e   forem dois elementos de   diferentes de   então   ≠   pois

  ≠ 0.

Mas se se tivesse   então ter-se-ia  

Exemplos e contra-exemplos de CorposEditar

ExemplosEditar

  • Os números complexos  [1] e seus subcorpos, entre os quais:
  •   o menor corpo, formado pelos números   e   em que   Este conjunto com as operações de adição e multiplicação satisfaz todos os axiomas de anel, é comutativo e tem unidade. Além disso, como em qualquer anel com unidade,   é o elemento inverso de  
  •   onde p é um número primo. Como conjunto,
 

A adição e a multiplicação são assim definidas: se se quer adicionar (respectivamente multiplicar) em   então   (respectivamente  ) é o resto da divisão por   da adição (respectivamente multiplicação) dos números inteiros   e  

< H :   >

Contra-exemplosEditar

  •   quando   não é um número primo, não é um corpo, pois tem divisores de zero.
  • Os quaterniões não formam um corpo, porque a multiplicação não é comutativa.

CaracterísticaEditar

Dado um corpo   considere-se a sucessão       … Há duas possibilidades.

  • Todos os termos da sucessão são diferentes de   Diz-se então que o corpo   tem característica  
  • Alguns termos da sucessão são iguais a   Diz-se então que o corpo   tem característica   onde   é o menor número natural tal que   ···   (  vezes) = 0.

O corpo dos números complexos e os seus subcorpos têm característica   para cada número primo   o corpo Zp tem característica  

Se um corpo tem característica   então   é um número primo. De facto, a função

 

é tal que se   e   são números naturais, então   Por outro lado, se   tiver característica   então   Se   não fosse primo, tinha-se   com   e   números naturais menores do que   pelo que   Mas então   ou   Isto é impossível pois, por definição,   é o menor número natural tal que  

Se um corpo F tem característica p (em que p é zero ou um número primo), então existe um subcorpo   e um isomorfismo de corpos   (p = 0) ou   (p primo). Além disso, o subcorpo K e o isomorfismo φ são únicos.

Corpos de fracçõesEditar

 Ver artigo principal: Corpo de frações

Seja   um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. Então é possível mergulhar   num corpo   Basta definir em   ×   \   a seguinte relação de equivalência ∼:

  ∼   se e só se  

Se   for um elemento de   ×   \   seja   a sua classe de equivalência. Seja   o conjunto das classes de equivalência. Podem-se então definir os seguintes elementos de   e as seguintes operações:

  •  
  •  
  •  
  •  

Então   é um corpo e a função

 

é uma função injectiva de   em   O corpo   designa-se por corpo de fracções do anel  [3]

Exemplos:

  • O corpo dos números racionais é o corpo de frações do anel dos números inteiros.
  • Seja   um aberto conexo não vazio de C. As funções holomorfas de   em C formam um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. O seu corpo de fracções é o corpo das funções meromorfas de   em C.

Notas e referências

  1. a b c Jacobson, 1985, p. 87–91
  2. Os números surreais, na sua formulação original, não formam um conjunto. Consequente, não são um corpo. No entanto, esta limitação pode ser ultrapassada, limitando a construção dos números surreais a um Universo de Grothendieck.
  3. Jacobson, 1985, p. 116–117
  • Jacobson, Nathan (1985). Basic algebra (em inglês). 1. New York: W. H. Freeman and Company. ISBN 0716714809 

Ver tambémEditar