Extensão algébrica

Uma extensão algébrica $F$ de um corpo $E$ é um corpo que é contradomínio de um homomorfismo injetivo $\phi :E\rightarrow F$, em todo elemento de F é algébrico em E, ou seja, todo elemento $\alpha \in F$ é raiz de um polinômio cujos coeficientes são elementos de E. Esta definição é amplamente utilizada nos estudos de polinômios, notavelmente para a teoria de Galois. Note que a imagem de um polinômio por homomorfismo será um polinômio de mesmo grau; seus coeficientes serão imagem dos coeficientes do polinômio inicial:

$\phi (a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n})=\phi (a_{0})+\phi (a_{1})\phi (x)+...+\phi (a_{n})\phi (x^{n})=\phi (a_{0})+...+\phi (a_{n})\phi (x)^{n}$

Em particular, se $\alpha$ é raiz deste polinômio - sabendo-se que um homomorfismo leva o elemento neutro da soma de um corpo no elemento neutro da soma do outro - logo $\phi (\alpha )$ será raiz do polinômio $\phi (a_{0})+\phi (a_{1})X+...+\phi (a_{n})X^{n}$.

Exemplos

• A definição de extensão algébrica é, propositalmente, genérica para permitir construções de extensões. Um caso particular é quando $E\subset F$, a função $\phi$ é a função inclusão, E é um sub-corpo de F, e todo elemento de F é algébrico em E.
• O conjunto $\mathbb {Q} [i]=\{a+bi|a,b\in \mathbb {Q} \}$ munido das aplicações usuais de soma e de multiplicação usuais dos números complexos é um corpo. A aplicação $\phi :\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {Q} [i]$ é dada por $\phi (a)=a+0i=a$. Assim, o corpo $\mathbb {Q} [i]$ é uma extensão algébrica de $\mathbb {Q}$
• O conjunto dos números algébricos é uma extensão algébrica do conjuntos dos números racionais.
• O corpo $\mathbb {Q} (\pi )$, formado pelos números reais da forma ${\frac {f(\pi )}{g(\pi )}}$, sendo f e g polinômios com coeficientes inteiros, não é uma extensão algébrica de $\mathbb {Q}$, porque $\pi$ não é algébrico em $\mathbb {Q}$. Esse é um exemplo de uma extensão transcendente.
• O corpo $\mathbb {Q} ({\sqrt {\pi }})$, formado pelos números reais da forma ${\frac {f({\sqrt {\pi }})}{g({\sqrt {\pi }})}}$, sendo f e g polinômios com coeficientes inteiros, é uma extensão algébrica de $\mathbb {Q} (\pi )$.

Extensão algébrica finita

Uma extensão algébrica finita $F$ de um corpo $E$ é um corpo que é contra-domínio de um homomorfismo injetivo $\phi :E\rightarrow F$ onde o espaço vetorial $F$ associado ao corpo $\phi (E)$ é de dimensão finita.

Construção

Um dos teoremas mais poderosos da Álgebra é aquele que diz, essencialmente, que todo polinômio tem uma raiz. A forma precisa deste teorema é:

Seja E um corpo, p(x) um polinômio com coeficientes em E. Então existe uma extensão algébrica F de E tal que p(x) tem (pelo menos) uma raiz em F.

A forma de construir este corpo F, no caso de p(x) ser um polinômio irreducível, é construir o anel E[x] de polinômios, definir o sub-anel < p(x) > em E[x], usar a irreducibilidade de p(x) para provar que o anel quociente F = ${\frac {E[x]}{<p(x)>}}$ é um corpo e que a função $\phi (e)=e+<p(x)>$ é um homomorfismo injetivo, e provar que, em F, x + < p(x) > é uma raiz de p(x).