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Anel com identidade

anel com uma identidade multiplicativa

Em matemática, um anel com identidade, ou anel com unidade é um anel com elemento neutro da multiplicação, denominado 1. Esse elemento sempre é único.

Índice

Definições AlternativasEditar

Alguns autores, como Serge Lang, definem anel com existência de elemento neutro para a multiplicação. Nesses casos anéis sem unidade são classificados como pseudoanéis.

Unicidade da UnidadeEditar

Proposição:Se um anel   possui unidade, então ela é única.

Prova: A prova segue por absurdo supondo a existência de duas identidades.

Seja   identidades distintas, ou seja,   temos   e  . Segue que   mas   também é unidade, então   portanto  

Unidades Versus Anel com UnidadeEditar

Dentro de um anel   podemos definir o conjunto  , em palavras,   denota o conjunto de todos os elementos invertíveis de   e o chamamos de Conjunto das Unidades. Portanto a noção de unidade não está associada ao elemento neutro da multiplicação   e sim a existência de inverso multiplicativo. Dessa forma, o termo unidades de um anel não contradiz a proposição acima pois é diferente do termo anel com unidade, o qual se refere à anéis que possuem elemento neutro para a multiplicação.

ExemplosEditar

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