Conjunto ômega-limite

Na teoria dos sistemas dinâmicos, fixado um sistema dinâmico sobre um espaço $X$, associa-se a cada ponto $p\in X$ um conjunto denominado conjunto ômega-limite de $p$.

Definição

Sejam $X$ um espaço topológico e $f:X\rightarrow X$ um homeomorfismo. Se $p\in X$, definimos o conjunto ômega-limite de $p$, denotado por $\omega (p)$, como sendo o conjunto $\{x\in X\mid \exists \{n_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {N}$ tal que $n_{k}\rightarrow \infty$ e $\lim _{k\rightarrow \infty }f^{n_{k}}(p)=x\}$.

Para fluxos, temos a seguinte definição:

Sejam $M$ uma variedade suave e $\phi :\mathbb {R} \times M\rightarrow M$ um fluxo contínuo definido sobre $M$. Se $p\in M$, definimos o conjunto ômega-limite de $p$, denotado por $\omega (p)$, como sendo o conjunto $\{x\in X\mid \exists \{t_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R}$ tal que $t_{k}\rightarrow \infty$ e $\lim _{k\rightarrow \infty }\phi (t_{k},p)=x\}$.