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Espaços topológicos são estruturas que permitem a formalização de conceitos tais como convergência, conexidade e continuidade. Eles aparecem em praticamente todos os ramos da matemática moderna e são uma noção unificadora central. O ramo da matemática que estuda os espaços topológicos é denominado topologia.

Índice

DefiniçãoEditar

Uma topologia em um conjunto   é uma coleção   de partes de   chamados os abertos da topologia, com as seguintes propriedades:

  1. O conjunto vazio e o próprio conjunto X são abertos:  
  2. A interseção de dois conjuntos abertos é um aberto: Se   então  
  3. A união de uma família arbitrária (finita ou infinita) de abertos é um aberto: Dada uma família arbitrária   com   tem-se  

Um espaço topológico é um par   onde   é um conjunto e   é uma topologia em  

ExemplosEditar

  • Se   é um conjunto, a topologia   no qual   é o conjunto das partes de   é denominada a topologia discreta sobre  
  • Se   é um conjunto, a topologia   é denominada a topologia grosseira sobre  
  • Um espaço métrico   tem uma estrutura natural de espaço topológico para   definido como o conjunto das reuniões de bolas abertas  
  • Nada impede que, a um conjunto X, esteja associada mais de uma topologia, por exemplo,   e   Quando todo aberto de   for um aberto de   diz-se que a topologia   é mais grossa que   ou, analogamente, que   é mais fina que   Como o próprio nome indica, a topologia grosseira é mais grossa que qualquer outra, e a topologia discreta é mais fina que qualquer outra.

FechadosEditar

 Ver artigo principal: Conjunto fechado

Um subconjunto de um espaço topológico diz-se fechado se o seu complementar for aberto.

PropriedadesEditar

  • Dada uma família não-vazia de topologias   a sua interseção   é uma topologia.
  • Essa propriedade permite construir topologias mínimas, ou seja, a menor topologia que satisfaz determinadas propriedades, como sendo a interseção de todas as topologias que satisfazem determinada propriedade (desde que essa propriedade seja hereditária para interseções!).
  • Por exemplo, dada uma coleção S de subconjuntos de X (ou seja,  ), sabemos que existe uma topologia que contém S, a topologia discreta   Portanto, a família F de todas as topologias que contém S não é vazia, e podemos formar a sua interseção. Esta é a topologia gerada por S, e S é uma sub-base desta topologia.
  • Seja   uma topologia em X, e   Para tornar Y um subespaço topológico, existe uma topologia canônica em Y,   Uma forma interessante de construir essa topologia se baseia no conceito de função contínua. A função inclusão   é contínua para a topologia discreta em Y, portanto a família de todas as topologias em Y para as quais i é contínua é um conjunto não-vazio. A topologia canônica de Y é precisamente a menor topologia que torna a inclusão uma função contínua.

ReferênciasEditar

O Wikilivros tem um livro chamado Topologia
  • Lima, Elon Lages (2013). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed. [S.l.]: IMPA. 299 páginas. ISBN 978-85-244-0158-9 
  • Lima, Elon Lages (1976). Elementos de topologia geral. [S.l.]: LTC 
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