Conjunto denso

Em topologia, um subconjunto S de um espaço topológico X diz-se denso em X, se o fecho de S é igual a X, isto é, todo ponto de X é um ponto limite de S, ou equivalentemente, S é denso em X se qualquer vizinhança de qualquer ponto de X contiver um elemento de S.

DefiniçãoEditar

Seja X um espaço métrico, S um subconjunto de X. Se a topologia de X é induzida pela métrica, o fecho de S é definido pela união de todos os seus pontos limites [1]  e S é denso em X se  

Para um espaço topológico X qualquer, o fecho de S pode ser definido como o menor conjunto fechado   tal que  , e um conjunto S é denso em X se não existe um subconjunto C próprio fechado de X tal que  .

PropriedadesEditar

Para todo conjunto  , existe um conjunto E tal que E é enumerável e denso em X [2].

Densidade é uma propriedade transitiva, de forma que dados conjuntos A, B e C, com A denso em B e B denso em C, então A é denso em C.

Seja  . Se f é nula em um subconjunto denso de X, f é dita nula em quase todo X.

ExemplosEditar

  • Qualquer espaço topológico é um subconjunto denso de si próprio.
  • (0,1) é denso em [0,1]
  •   e   são ambos densos em  , pois entre dois reais quaisquer, sempre existem, pelo menos, um racional e um irracional, do que podemos concluir que existe uma infinidade de racionais e outra de irracionais entre dois reais quaisquer.

Referências

  1. [Principles of Mathematical Analysis, Walter Rudin, McGrall-Hill Inc., 1964]
  2. [Curso de Análise, Volume 1, Elon Lages Lima, IMPA, 1980]