Coordenadas toroidais

Coordenadas toroidais são um sistema de coordenadas ortogonais, tridimensional que é gerado pela rotação do sistema de coordenadas bipolares sobre um eixo que separa seus dois focos. Assim, os dois focos $F_{1}$ e $F_{2}$ em coordenadas bipolares se tornam um anel de raio $a$ no plano $xy$ plane do sistema de coordenadas toroidais; o eixo $z$ é o eixo de rotação.

Ilustração das coordenadas toroidais, que são obtidas pela rotação do sistema de coordenadas bipolar bidimensional sobre um eixo separando seus focos. O foco está localizado a uma distância vertical 1 do eixo z. A esfera vermelha é a isosuperfície σ=30°, o toro azul é a isosuperfície τ=0,5, e o semi-plano amarelo é a isosuperfície φ=60°. O semi-plano verde marca o plano x-z plane, a partir do qual φ é medido. O ponto preto está na intersecção dessas três isosuperfícies, nas coordenas cartesianas (0.996, -1.725, 1.911).

Definição

Interpretação geométrica das coordenadas σ e τ de um ponto P.

A definição mais comum das coordenadas toroidais $(\sigma ,\tau ,\phi )$ é

$x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi$

$y=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi$

$z=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

onde a coordenada $\sigma$ de um ponto $P$ é igual ao ângulo $F_{1}PF_{2}$ e a coordenada $\tau$ é igual ao logaritmo natural da razão das distâncias $d_{1}$ e $d_{2}$

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.$

Transformação inversa

As coordenadas (σ, τ, φ) podem ser calculadas a partir das coordenadas cartesianas (x, y, z) como segue. O ângulo azimutal φ é dado pela fórmula

$\tan \phi ={\frac {y}{x}}$

O raio cilíndrico ρ do ponto P é dado por

$\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}$

e sua distância ao foco no plano definido por φ é dado por

$d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}$

$d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}$

A coordenada τ é igual ao logaritmo natural das distâncias focais.

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$

Fatores de escalas

Os fatores de escala para as coordenadas toroidais $\sigma$ e $\tau$ são

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

enquanto o fator de escala azimutal é

$h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

Assim, um elemento infinitesimal de volume, nessas coordenadas, é dado por

$dV={\frac {a^{3}\sinh \tau }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}d\sigma d\tau d\phi$

e o laplaciano é toma a forma

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau }}\left[\sinh \tau {\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]$

Referências

• Byerly, WE. (1893) An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics, with applications to problems in mathematical physics Ginn & co. pp. 264-266
• Arfken G (1970). Mathematical Methods for Physicists 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press. pp. 112–115 
• Andrews, Mark (2006). «Alternative separation of Laplace's equation in toroidal coordinates and its application to electrostatics». Journal of Electrostatics. 64: 664–672. doi:10.1016/j.elstat.2005.11.005 

Bibliografia

• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 666 
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 182.  
• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 190–192.  
• Moon PH, Spencer DE (1988). «Toroidal Coordinates (η, θ, ψ)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd, 3rd revised printing ed. New York: Springer Verlag. pp. 112–115 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7 

Ligações externas

• Coordenadas Toroidais no MathWorld