Coordenadas toroidais
Coordenadas toroidais são um sistema de coordenadas ortogonais, tridimensional que é gerado pela rotação do sistema de coordenadas bipolares sobre um eixo que separa seus dois focos. Assim, os dois focos e em coordenadas bipolares se tornam um anel de raio no plano plane do sistema de coordenadas toroidais; o eixo é o eixo de rotação.
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Definição
editarA definição mais comum das coordenadas toroidais é
onde a coordenada de um ponto é igual ao ângulo e a coordenada é igual ao logaritmo natural da razão das distâncias e
Transformação inversa
editarAs coordenadas (σ, τ, φ) podem ser calculadas a partir das coordenadas cartesianas (x, y, z) como segue. O ângulo azimutal φ é dado pela fórmula
O raio cilíndrico ρ do ponto P é dado por
e sua distância ao foco no plano definido por φ é dado por
A coordenada τ é igual ao logaritmo natural das distâncias focais.
Fatores de escalas
editarOs fatores de escala para as coordenadas toroidais e são
enquanto o fator de escala azimutal é
Assim, um elemento infinitesimal de volume, nessas coordenadas, é dado por
e o laplaciano é toma a forma
Referências
editar- Byerly, WE. (1893) An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics, with applications to problems in mathematical physics Ginn & co. pp. 264-266
- Arfken G (1970). Mathematical Methods for Physicists 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press. pp. 112–115
- Andrews, Mark (2006). «Alternative separation of Laplace's equation in toroidal coordinates and its application to electrostatics». Journal of Electrostatics. 64: 664–672. doi:10.1016/j.elstat.2005.11.005
Bibliografia
editar- Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 666
- Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 182.
- Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 190–192.
- Moon PH, Spencer DE (1988). «Toroidal Coordinates (η, θ, ψ)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd, 3rd revised printing ed. New York: Springer Verlag. pp. 112–115 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7