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Covariância e contravariância de vetores

Um vetor v (vermelho) representado por • vetores de bases tangentes (amarelo, esquerda: e1, e2, e3) à curvas coordenadas (preto), • dupla base, base covector, ou cobase (azul, direita: e1, e2, e3), vetores normais à superfícies coordenadas (cinza), em coordenadas curvilíneas gerais 3d (q1, q2, q3), uma enupla de números define um ponto em uma posição no espaço. Note-se que a base e a cobase não coincidem a menos que a base seja ortogonal.[1]

Em álgebra multilinear e análise tensorial, covariância e contravariância trata como a descrição quantitativa de certas entidades geométricas ou físicas muda com uma mudança de base. Em física, uma base é, por vezes, considerada como um conjunto de eixos de referência. Uma mudança de escala em termos de eixos de referência corresponde a uma mudança de unidades no problema. Por exemplo, na mudança de escala de metros para centímetros (isto é, dividindo-se a escala dos eixos de referência por 100), os componentes de um vetor de medida de velocidade medida irá multiplicar-se por 100. Vetores exibem esse comportamento de mudar inversamente de escala às mudanças na escala para os eixos de referência: são contravariantes. Como resultado, os vetores têm frequentemente unidades de distância vezes alguma outra unidade (como a velocidade).


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Referências

  1. J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). Gravitation. [S.l.]: W.H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0