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Em matemática, uma derivada de Lie é uma derivação na álgebra de funções diferenciáveis sobre uma variedade diferenciável , cuja definição pode estender-se à álgebra tensorial da variedade. Obtem-se então o que em topologia diferencial se denomina derivação tensorial: uma aplicação -linear sobre o conjunto de tensores de tipo (r,s), que preserva o tipo tensorial e satisfaz a regra do produto de Leibniz e que comuta com as Contração de tensor|contrações]].

Para definir a derivada de Lie sobre o conjunto de tensores de tipo (r,s) basta definir-se sua ação sobre funções e sobre campos de vetores:

Assim, se X é um campo diferenciável de vetores, se define a derivada de Lie em relação a X como a única derivação tensorial tal que:[1]

  • para toda função diferenciável f.
  • para todo campo diferenciável Y. Onde [,] é o colchete de Lie.

A derivada assim definida satisfará automaticamente as propriedades citadas de uma derivação tensorial:

  • a regra do produto
  • comutará com as contrações.

O espaço vetorial de todas as derivadas de Lie em M forma por sua vez uma álgebra de Lie infinita dimensional em relação ao colchete de Lie.

Derivada de Lie de campos tensoriaisEditar

Em geometria diferencial, se temos um tensor diferenciável T de Conjunto imagem (p, q) (ou seja, uma função linear de seções diferenciáveis, α, β, ... do T*M fibrado cotangenteey X, Y,... do TM fibrado tangente,

T(α,β...,X,Y ,...)

Tais que para quaisquer funções diferenciáveis

f1...,fp...,fp+q, T(f1α,f2β...,fp+1X,fp+2Y,...) = f1f2... fp+1fp+2... fp+q T(α, β..., X, Y ,...)) e um campo vetorial (seção do fibrado tangente) A diferenciável, então a função linear:

AT)(α, β,..., X, Y,...) ≡ ∇A T(α, β,..., X, Y,...) - ∇T(-,β...,X,Y,...)A(α)-... + T(α, β...,∇XA,Y,...)+...

é independente da conexão ∇ que se utiliza, enquanto seja livre torsão, e é, de fato, um tensor.[2]

Este tensor se chama a derivada de Lie de T em relação a A.

Referências

  1. O Neill Semiriemaniann geometry. Academic Press, 1983. ISBN 0-12-526740-1 (cap 2)
  2. T. J. Willmore. The Definition of Lie Derivative. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society (Series 2), Volume 12, Issue 01, Jun 1960, pp 27-29 doi: 10.1017/S0013091500025013 [1]