Derivada de Lie

Em matemática, uma derivada de Lie é uma derivação na álgebra de funções diferenciáveis sobre uma variedade diferenciável $\scriptstyle {\mathcal {M}}$ , cuja definição pode estender-se à álgebra tensorial da variedade. Obtem-se então o que em topologia diferencial se denomina derivação tensorial: uma aplicação $\scriptstyle \mathbb {R}$ -linear sobre o conjunto de tensores de tipo (r,s), que preserva o tipo tensorial e satisfaz a regra do produto de Leibniz e que comuta com as Contração de tensor|contrações]].

Para definir a derivada de Lie sobre o conjunto de tensores de tipo (r,s) basta definir-se sua ação sobre funções e sobre campos de vetores:

Assim, se X é um campo diferenciável de vetores, se define a derivada de Lie em relação a X como a única derivação tensorial tal que:^[1]

${\mathcal {L}}_{X}f=X(f)$ para toda função diferenciável f.
${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]$ para todo campo diferenciável Y, onde [.,.] é o colchete de Lie.

A derivada assim definida satisfará automaticamente as propriedades citadas de uma derivação tensorial:

a regra do produto

{\mathcal {L}}_{X}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{X}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{X}T)

comutará com as contrações.

O espaço vetorial de todas as derivadas de Lie em M forma por sua vez uma álgebra de Lie infinita dimensional em relação ao colchete de Lie.

Derivada de Lie de campos tensoriais editar

Em geometria diferencial, se temos um tensor diferenciável T de Conjunto imagem (p, q) (ou seja, uma função linear de seções diferenciáveis, α, β, ... do T*M fibrado cotangenteey X, Y,... do TM fibrado tangente,

T(α,β...,X,Y ,...)

Tais que para quaisquer funções diferenciáveis

f₁...,f_p...,f_p+q, T(f₁α,f₂β...,f_p+1X,f_p+2Y,...) = f₁f₂... f_p+1f_p+2... f_p+q T(α, β..., X, Y ,...)) e um campo vetorial (seção do fibrado tangente) A diferenciável, então a função linear:

(£_AT)(α, β,..., X, Y,...) ≡ ∇_A T(α, β,..., X, Y,...) - ∇_{T(-,β...,X,Y,...)}A(α)-... + T(α, β...,∇_XA,Y,...)+...

é independente da conexão ∇ que se utiliza, enquanto seja livre torsão, e é, de fato, um tensor.^[2]

Este tensor se chama a derivada de Lie de T em relação a A.

Referências

↑ O Neill Semiriemaniann geometry. Academic Press, 1983. ISBN 0-12-526740-1 (cap 2)
↑ T. J. Willmore. The Definition of Lie Derivative. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society (Series 2), Volume 12, Issue 01, Jun 1960, pp 27-29 doi: 10.1017/S0013091500025013 [1]

[1] O Neill Semiriemaniann geometry. Academic Press, 1983. ISBN 0-12-526740-1 (cap 2)

[2] T. J. Willmore. The Definition of Lie Derivative. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society (Series 2), Volume 12, Issue 01, Jun 1960, pp 27-29 doi: 10.1017/S0013091500025013 [1]

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