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Campo vetorial dado por vetores da forma (-y, x)[1]

Em matemática um campo vetorial ou campo de vetores é uma construção em cálculo vetorial que associa um vetor a todo ponto de uma variedade diferenciável (como um subconjunto do espaço euclidiano, por exemplo). Isso é, um campo de vetores é uma função vetorial que associa um vetor a cada ponto P(x,y,z) do espaço xyz, genericamente dada por:

Onde f=f(x,y,z), g=g(x,y,z) e h=h(x,y,z) são as funções componentes que, quando associadas a um ponto P(x,y,z), fornecem o valor de cada componente do vetor na direção de i (vetor unitário na direção e sentido do eixo X positivo), j (vetor unitário na direção e sentido do eixo Y positivo) e k (vetor unitário na direção e sentido do eixo Z positivo), respectivamente.

Campos vetoriais são geralmente utilizados na física para indicar, por exemplo, a velocidade e a direção de um fluido ou um corpo se movendo pelo espaço, ou o comprimento e direção de alguma força, tal como a força magnética ou gravitacional, com seus valores de ponto em ponto.

DefiniçãoEditar

Um campo vetorial de um subconjunto do espaço euclidiano   é uma função com valores vetoriais tais que

 

Diz-se que F é um campo vetorial   se cada componente é k vezes continuamente diferenciável. Um campo vetorial pode ser visualizado como um espaço X com um vetor n-dimensional associado a cada ponto em X. Embora as representações envolvam pontos discretos, campos vetoriais são formados por um número infinito de vetores.

Exemplo de um Campo de ForçaEditar

Seja uma partícula A de massa M fixa em um ponto   e seja uma partícula B de massa m livre para ocupar várias posições P no espaço. A atrai B de acordo com a lei da gravitação universal de Newton. A força gravitacional F age de P para  , com módulo tal que

 

onde G é a constante gravitacional universal.

Pensando num sistema de coordenadas em que P e   possuam as coordenadas P(x,y,z) e  , , então a distância entre esses pontos é dada por

 

de tal modo que r possa ser escrito como um vetor.

 

Sabendo-se que   é um vetor unitário de mesma direção e sentido de F, tem-se que

 

 

 
[2]

é uma função vetorial que descreve a força gravitacional que A provoca em B.

Tipos de Campos VetoriaisEditar

Campo ConservativoEditar

O campo vetorial

 
é dito conservativo se

 
Editar

Onde P é uma função potencial. Matematicamente o campo conservativo pode ser representado, em coordenadas cartesianas, por:

 

Outras formas de afirmar que um campo é conservativo são:

- Se o campo for irrotacional.

  

- Se o valor da integral de linha depender somente dos pontos extremos e não do caminho que os liga.

  

- Se a integral de caminho fechado for igual a zero.

  

Campo CentralEditar

Campos centrais são campos com origem em potenciais P que apenas dependem da distância, isso é: sendo

 

Então, P(x,y,z)=P(r)

Campo de SpinEditar

Campos de spin se distribuem tangencialmente à circunferências de raios crescentes. Fluidos em movimento como um líquido derramado em um funil ou certos ciclones podem ser modelados por esse campo vetorial. Este tipo de campo serve também para descrever sistemas físicos em rotação.

Por exemplo, da mecânica de rotação, tem-se que a velocidade linear de um corpo em rotação é

 

ou seja,

 

Campos Inverso-do-QuadradoEditar

Campos ditos Inverso-do-Quadrado[3] são aqueles campos vetoriais da forma

 

onde r é um vetor posição, no espaço bidimensional ou tridimensional:

 

e c uma constante característica do campo em questão.

Alternativamente, podemos expressar estes tipos de campos vetoriais da seguinte maneira:

 
com a introdução do versor posição,   :

 

Tais campos possuem caráter radial e a magnitude dos mesmos diminui com o quadrado da distância, pois :

 

Se c >0 , temos um Campo Repulsivo ( ou de Fonte), e caso c <0 , há um Campo Atrativo (ou de Sumidouro).

Temos que a representação gráfica destes campos é dada por:


 
Representação gráfica para c>0 e c<0. [4]

Campos Inverso-do Quadrado são ditos conservativos, visto que o rot(F(r))=0 .[4]

Exemplos de Campos Inverso-do Quadrado são os Campos Gravitacional e Elétrico;

  Lei da Gravitação Universal,

onde G é a constante de gravitação universal, m1 e m2 são as massas de dois corpos e r = |r| a distância entre eles.

  Lei de Coulomb,

onde  é a constante de permissividade elétrica no sistema SI, q1 e q2 são duas cargas elétricas e r a distância entre elas.


Integral de LinhaEditar

Uma técnica comum em física é integrar o campo vetorial ao longo de uma curva, sendo isto denominado como integral de linha. A integral de linha é construída analogamente à integral de Riemann e existe se o campo vetorial é contínuo.

Dado um campo vetorial W e a curva S parametrizada no intervalo [a,b], onde a e b são reais, a integral de linha é definida como

 

DelEditar

O operador del é análogo ao operador de derivada d/dx, que aplicado a f(x) produz a derivada f'(x). Quando aplicado à campos vetoriais o operador del leva à duas operações essenciais, o divergente e o rotacional. Quando aplicado duas vezes tem-se o laplaciano vetorial, onde cada componente deste representa o divergente do gradiente do componente respectivo do campo vetorial argumento.

Operador NablaEditar

O operador Nabla é definido, em coordenadas retangulares, como:

 
Este operador pode ser aplicado em campos escalares e em campos vetoriais.

GradienteEditar

O gradiente de uma função escalar F=F(x,y,z) é expresso, em coordenadas retangulares, como:

 

A interpretação do gradiente é a direção na qual a variação da função F é máxima.

DivergenteEditar

O divergente de um campo vetorial continuamente diferenciável num espaço euclidiano de três dimensões é dado por

 

Observa-se que o divergente é um campo escalar. A interpretação física do divergente é o fluxo pontual.

RotacionalEditar

O rotacional calcula por uma superfície infinitesimal o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície. O rotacional é um campo vetorial. Por definição, em três dimensões:

 

O rotacional pode ser interpretação, fisicamente, como sendo uma circulação no espaço.

LaplacianoEditar

Como já dito, o Laplaciano é um escalar, calculado como o divergente de um campo gradiente, dado por:

 
Uma das interpretações do Laplaciano é a concavidade da função F.

A equação   ou sua equivalente  

 

é conhecida como equação de Laplace. Essa equação diferencial parcial tem um papel importante em diversas aplicações pelo fato de ser satisfeita pela função potencial do campo de quadrado inverso.

Ver tambémEditar

Referências

  1. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016 
  2. «Faça exemplos em dimensão dois com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016 
  3. Anton, Bivens, Davis, Howard, Irl , Stephen (2014). Cálculo Volume II. Porto Alegre: Bookman. pp. 1086,1087 
  4. a b Strauch, Irene. Análise Vetorial em dez aulas. [S.l.: s.n.] 

BibliografiaEditar

  • Kreyszig, Erwin (1969). Matemática Superior para Engenharia. I II ed. [S.l.: s.n.] ISBN 8521616430 
  • ANTON, Howard. Cálculo / Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis; tradução Claus Ivo Doering. - 8. ed. - Porto Alegre: Bookman, 2007. 2 v. (680; 672 p.): il.; 28 cm.
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