Derivada total

Em matemática, a derivada total de uma função é a melhor aproximação linear do valor da função em relação aos seus argumentos. Ao contrário das derivadas parciais, a derivada total aproxima a função em relação a todos os seus argumentos, e não apenas a um. Em muitas situações, isso é o mesmo que considerar todas as derivadas parciais simultaneamente. O termo "derivado total" é usado principalmente quando é uma função de várias variáveis, porque quando é uma função de uma única variável, a derivada total é a mesma que a derivada da função.[1] :198–203

A "derivada total" é algumas vezes também usada como sinônimo da derivada de material na mecânica de fluidos .

A derivada total como um mapa linearEditar

Seja  um subconjunto aberto . Então uma função  é dito ser (totalmente) diferenciável em um ponto  se existe uma transformação linear  tal que

 
O mapeamento linear  é chamado de diferencial (total) ou derivada (total) de   em   . Outras notações para a derivada total incluem   e  . Uma função é (totalmente) diferenciável se sua derivada total existir em todos os pontos de seu domínio.


Conceitualmente, a definição da derivada total expressa a ideia de que  é a melhor aproximação linear para  no ponto  . Isso pode ser feito com precisão quantificando o erro na aproximação linear determinada por  . Para fazer isso, escreva 

onde  é igual ao erro na aproximação. Dizer que a derivada de  em   é  é equivalente à enunciar que

 

onde   é notação do pequeno o e indica que   é muito menor do que  quando  . A derivada total  é a única transformação linear para a qual o termo de erro é tão pequeno, e este é o sentido em que é a melhor aproximação linear para  .

A função   é diferenciável se e somente se cada um de seus componentes  é diferenciável, por isso, quando se estudam derivadas totais, muitas vezes é possível trabalhar uma coordenada de cada vez no co-domínio. No entanto, o mesmo não é verdade das coordenadas no domínio. É verdade que se   é diferenciável em  , então cada derivada parcial  existe em  . O inverso é falso: pode acontecer que todas as derivadas parciais de  em   existam, mas   não seja diferenciável em  . Isso significa que a função é muito ''grosseira" em  , a tal extremo que seu comportamento não pode ser adequadamente descrito por seu comportamento nas direções das coordenadas. Quando   não é tão grosseira, isso não pode acontecer. Mais precisamente, se todas as derivadas parciais de   em   existem e são contínuos em uma vizinhança de  , então  é diferenciável em  . Quando isso acontece, então, além disso, a derivada total de   é a transformação linear correspondente à matriz jacobiana de derivadas parciais naquele ponto.[2]

ReferênciasEditar

  1. Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics. [S.l.: s.n.] ISBN 0-07-010813-7 
  2. Abraham, Ralph; Marsden, J. E.; Ratiu, Tudor. Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. [S.l.: s.n.] 

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