Em topologia, um conjunto diz-se aberto se uma pequena variação de um ponto desse conjunto mantém-no no conjunto.

Definição editar

Espaços topológicos editar

 Ver artigo principal: Espaço topológico

Em topologia, a noção de aberto é primitiva: uma topologia   em um conjunto   é definida como um subconjunto do conjunto das partes de   (satisfazendo determinadas propriedades), e cada elemento de   é chamado de um aberto ou conjunto aberto.

Espaços métricos editar

 Ver artigo principal: Espaço métrico

Em um espaço métrico, um subconjunto é dito aberto se ele for a vizinhança de cada um de seus elementos.[1] Ou seja, dado um espaço métrico  , um subconjunto   de   é aberto se, para cada ponto  , existe   tal que a bola aberta   ainda esteja contida em  .[1]

Propriedades editar

  • Em um espaço topológico ou espaço métrico  , o conjunto vazio e o próprio conjunto   são abertos.
  • Um conjunto é aberto se e só se coincidir com o seu interior.
  • Um conjunto é aberto se e só se o seu complementar for fechado.
  • A interseção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto.
  • A união de qualquer quantidade (mesmo infinita) de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Abertos de editar

Como   (com a topologia usual) é um espaço métrico, um subconjunto   de   é aberto se, para cada ponto  , existe   tal que  .

Em  , um subconjunto é aberto se e só for reunião (possivelmente infinita) de intervalos abertos. O próprio conjunto dos números reais é um conjunto aberto.

Referências

  1. a b Ahlfors 1979, p. 51-52

Bibliografia editar