Conjunto aberto
Em topologia, um conjunto diz-se aberto se uma pequena variação de um ponto desse conjunto mantém-no no conjunto.
DefiniçãoEditar
Espaços topológicosEditar
Em topologia, a noção de aberto é primitiva: uma topologia em um conjunto é definida como um subconjunto do conjunto das partes de (satisfazendo determinadas propriedades), e cada elemento de é chamado de um aberto ou conjunto aberto.
Espaços métricosEditar
Em um espaço métrico, um subconjunto é dito aberto se ele for a vizinhança de cada um de seus elementos.[1] Ou seja, dado um espaço métrico , um subconjunto de é aberto se, para cada ponto , existe tal que a bola aberta ainda esteja contida em .[1]
PropriedadesEditar
- Em um espaço topológico ou espaço métrico , o conjunto vazio e o próprio conjunto são abertos.
- Um conjunto é aberto se e só se coincidir com o seu interior.
- Um conjunto é aberto se e só se o seu complementar for fechado.
- A interseção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto.
- A união de qualquer quantidade (mesmo infinita) de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
Abertos de Editar
Como (com a topologia usual) é um espaço métrico, um subconjunto de é aberto se, para cada ponto , existe tal que .
Em , um subconjunto é aberto se e só for reunião (possivelmente infinita) de intervalos abertos. O próprio conjunto dos números reais é um conjunto aberto.
Referências
- ↑ a b Ahlfors 1979, p. 51-52
BibliografiaEditar
- Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis (3ª ed) (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill Book Company