Conjunto aberto

Em topologia, um conjunto diz-se aberto se uma pequena variação de um ponto desse conjunto mantém-no no conjunto.

Definição

Espaços topológicos

Ver artigo principal: Espaço topológico

Em topologia, a noção de aberto é primitiva: uma topologia $T$ em um conjunto $X$ é definida como um subconjunto do conjunto das partes de $X$ (satisfazendo determinadas propriedades), e cada elemento de $T$ é chamado de um aberto ou conjunto aberto.

Espaços métricos

Ver artigo principal: Espaço métrico

Em um espaço métrico, um subconjunto é dito aberto se ele for a vizinhança de cada um de seus elementos. Ou seja, dado um espaço métrico $S\,\!$, um subconjunto $X\,\!$ de $S\,\!$ é aberto se, para cada ponto $a\in X$, existe $\delta >0\,\!$ tal que a bola aberta $B(a,\delta )\,\!$ ainda esteja contida em $X\,\!$.

Propriedades

• Em um espaço topológico ou espaço métrico $X$, o conjunto vazio e o próprio conjunto $X$ são abertos.
• Um conjunto é aberto se e só se coincidir com o seu interior.
• Um conjunto é aberto se e só se o seu complementar for fechado.
• A interseção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto.
• A união de qualquer quantidade (mesmo infinita) de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Abertos de $\mathbb {R}$

Como $\mathbb {R}$ (com a topologia usual) é um espaço métrico, um subconjunto $X\,\!$ de $\mathbb {R}$ é aberto se, para cada ponto $a\in \mathbb {R}$, existe $\epsilon \,\!$ tal que $(a-\epsilon ,a+\epsilon )\subset X$.

Em $\mathbb {R}$, um subconjunto é aberto se e só for reunião (possivelmente infinita) de intervalos abertos. O próprio conjunto dos números reais é um conjunto aberto.

Bibliografia

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis (3ª ed) (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill Book Company