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Em matemática, a desigualdade de Bernoulli afirma que:

, sempre que e um número inteiro não negativo.

Esta desigualdade pode ser generalizada substituindo por um real maior ou igual a 1.

DemonstraçãoEditar

Esta desigualdade pode ser provada por indução matemática, como se segue:

  • Base:
 .
  • Indução:

Pela hipótese de indução, temos:

 

Multiplicado ambos os lados por   (que é um termo positivo uma vez que  ):

 

O termo   é positivo e portanto:

 

Demonstração da versão mais geralEditar

Defina a função auxiliar   por:

 

Queremos mostrar que   quando  .

Tomando derivada em  , temos:

 

ou seja:

 

Portanto,   admite um mínimo global no ponto  , onde é nula. Assim concluímos:

 

o que completa a demonstração.


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