Desigualdade de Bernoulli

Em matemática, a desigualdade de Bernoulli afirma que o polinômio real $1+x$, elevado ao número inteiro não negativo $n$, é maior ou igual à soma de $1$ com o produto de $n$ e $x$, quando $x$ é maior que $-1$ . Essa desigualdade pode ser utilizada em problemas relacionados à análise combinatória .

Enunciados

A desigualdade de Bernoulli afirma que:

$(1+x)^{n}\geq 1+nx\,$, sempre que $x>-1$ e $n$ é um número inteiro não negativo.

Esta desigualdade pode ser generalizada considerando-se o caso em que $n$ é um real maior ou igual a $1$.

Demonstração

Esta desigualdade pode ser provada por indução matemática, como se segue. Certamente

$(1+x)^{0}=1\geq 1=1+0x$.

Multiplicando-se ambos os lados da hipótese de indução

$P(n):(1+x)^{n}\geq 1+nx$

por $(1+x)$ (que é um termo positivo uma vez que $x>-1$) obtém-se

$(1+x)^{n+1}\geq (1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^{2}$.

O termo $nx^{2}$ é positivo e, portanto,

$(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x$.

Assim, como $P(n)\Rightarrow P(n+1)$, o resultado vale para todo inteiro $n\geq 0$.

Demonstração do caso geral

Considere $r$ um número real maior ou igual a $1$ e defina a função auxiliar $f(x)$ por

$f(x):=(1+x)^{r}-(1+rx)$,

de modo que basta mostrar que $f(x)\geq 0$ quando $x>-1$.

Tomando a derivada em $x$, tem-se

$f'(x)=r(1+x)^{r-1}-r\,$,

ou seja,

$f'(x)=\left\{{\begin{array}{rl}<0,&-1<x<0\\=0,&x=0\\>0,&x>0\end{array}}\right.$,

o que mostra que $f$ é crescente para $x>0$ e decrescente no intervalo $(-1,0)$ . Portanto, $f(x)$ admite um mínimo global no ponto $x=0$, onde é nula. Assim concluí-se que

$f(x)\geq 0,x>-1$,

o que completa a demonstração.