Desigualdade de Bernoulli

Em matemática, a desigualdade de Bernoulli afirma que o polinômio real , elevado ao número inteiro não negativo , é maior ou igual à soma de com o produto de e , quando é maior que [1][2] . Essa desigualdade pode ser utilizada em problemas relacionados à análise combinatória [3].

EnunciadosEditar

A desigualdade de Bernoulli afirma que:

 , sempre que   e   é um número inteiro não negativo[2].

Esta desigualdade pode ser generalizada considerando-se o caso em que   é um real maior ou igual a  .[nota 1]

DemonstraçãoEditar

Esta desigualdade pode ser provada por indução matemática, como se segue[2]. Certamente

 .

Multiplicando-se ambos os lados da hipótese de indução

 

por   (que é um termo positivo uma vez que  ) obtém-se

 .

O termo   é positivo e, portanto,

 .

Assim, como  , o resultado vale para todo inteiro  .

Demonstração do caso geralEditar

Considere   um número real maior ou igual a   e defina a função auxiliar   por

 ,

de modo que basta mostrar que   quando  .

Tomando a derivada em  , tem-se

 ,

ou seja,

 ,

o que mostra que   é crescente para   e decrescente no intervalo  [4] . Portanto,   admite um mínimo global no ponto  , onde é nula. Assim concluí-se que

 ,

o que completa a demonstração.

Notas

  1. No caso em que   é um número real qualquer e   é um número real maior ou igual a  , tem-se o seguinte resultado: se  , então  ; mas, se   ou   então  [3].

Referências

  1. LIMA, LIMA, Elon Lages (2004). Análise Real. [S.l.]: Impa 
  2. a b c Ávila, Geraldo (1995). Introdução à Análise Matemática. [S.l.]: Edgard Blücher. ISBN 8521201680 
  3. a b Silva, Pedro Costa da (2019). As desigualdades elementares e suas aplicações (PDF) (Tese). Natal: Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Consultado em 5 de novembro de 2019 
  4. Stewart, James (2009). Cálculo: volume 1. [S.l.]: Cengage Learning. ISBN 9788522106608 
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