Desigualdade de Schur

Em matemática, a desigualdade de Schur, assim chamada em homenagem a Issai Schur, estabelece que se x, y, z são números reais não negativos, e t é um número positivo,

com a igualdade ocorrendo se e somente se x = y = z ou dois deles são iguais e o outro é zero. Quando t é um número inteiro positivo par, a desigualdade vale para todos os números reais x, y e z.

Extensões

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Uma generalização da dsigualdade de Schur é o seguinte: Suponha que a, b, c sejam números reais positivos. Se os triplos (a, b, c) e (x, y, z) são igualmente classificados, a seguinte desigualdade é válida:

 

Em 2007, o matemático da Romênia Valentin Vornicu mostrou que existe ainda uma forma generalizada da desigualdade de Schur:

Considere  , where  , and either   or  . Let  , and let   seja convexa ou monotônica. Então,

 

A forma padrão de Schur é o caso desta desigualdade ondex = a, y = b, z = c, k = 1, ƒ(m) = mr.[1]

Outra extensão possível indica que, se os números reais não negativos  com e o número real positivo t são tais que x + v ≥ y + z then[2]

 

Referências

  1. Vornicu, Valentin; Olimpiada de Matematica... de la provocare la experienta; GIL Publishing House; Zalau, Romania.
  2. Finta, Béla (2015). «A Schur Type Inequality for Five Variables». Procedia Technology. 19: 799–801. doi:10.1016/j.protcy.2015.02.114