Em matemática , mais exatamente em geometria , a desigualdade de Weitzenböck , assim chamada após Roland Weitzenböck , afirma que para um triângulo de lados
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
Δ
{\displaystyle \Delta }
De acordo com a desigualdade de Weitzenböck, a área deste triângulo é, no máximo, (a 2 + b 2 + c 2 ) ⁄ 4√3.
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
4
3
Δ
.
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}\,\Delta .}
A igualdade ocorre se e somente se o triângulo é equilátero . A desigualdade de Pedoe é uma generalização da desigualdade de Weitzenböck.
A prova desta desigualdade foi uma das questões da Olimpíada Internacional de Matemática de 1961. Mesmo assim, o resultado não é muito difícil de se obter usando a fórmula de Heron para a área do triângulo:
Δ
=
(
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
(
b
+
c
−
a
)
(
c
+
a
−
b
)
4
=
1
4
2
(
a
2
b
2
+
a
2
c
2
+
b
2
c
2
)
−
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &{}={\frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4}}\\&{}={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}.\end{aligned}}}
Primeiro método
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Este método não assume qualquer conhecimento de desigualdades, exceto que todos os quadrados são não negativos.
(
a
2
−
b
2
)
2
+
(
b
2
−
c
2
)
2
+
(
c
2
−
a
2
)
2
≥
0
⟺
2
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
−
2
(
a
2
b
2
+
a
2
c
2
+
b
2
c
2
)
≥
0
⟺
4
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
3
≥
4
(
a
2
b
2
+
a
2
c
2
+
b
2
c
2
)
3
⟺
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
+
2
(
a
2
b
2
+
a
2
c
2
+
b
2
c
2
)
3
≥
2
(
a
2
b
2
+
a
2
c
2
+
b
2
c
2
)
−
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
⟺
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
3
≥
(
4
Δ
)
2
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{}&(a^{2}-b^{2})^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2}+(c^{2}-a^{2})^{2}\geq 0\\{}\iff &2(a^{4}+b^{4}+c^{4})-2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})\geq 0\\{}\iff &{\frac {4(a^{4}+b^{4}+c^{4})}{3}}\geq {\frac {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\\{}\iff &{\frac {(a^{4}+b^{4}+c^{4})+2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\geq 2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\{}\iff &{\frac {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}}\geq (4\Delta )^{2},\end{aligned}}}
e o resultado segue imediatamente tomando-se a raiz quadrada positiva de ambos os lados. Desde a primeira desigualdade pode-se ver que a igualdade ocorre apenas para
a
=
b
=
c
{\displaystyle a=b=c}
Segundo método
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Para este método é necessário conhecer previamente a chamada desigualdade do rearranjo e a desigualdade das médias .
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
a
b
+
b
c
+
c
a
⟺
3
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
≥
(
a
+
b
+
c
)
2
⟺
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
3
(
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
+
c
3
)
3
⟺
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
3
(
a
+
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
⟺
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
4
3
Δ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&ab+bc+ca\\\iff &&3(a^{2}+b^{2}+c^{2})&\geq &&(a+b+c)^{2}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&{\sqrt {3(a+b+c)\left({\frac {a+b+c}{3}}\right)^{3}}}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&{\sqrt {3(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&4{\sqrt {3}}\Delta .\end{aligned}}}
Como foi usada a desigualdade do rearranjo e a desigualdade das médias , a igualdade só ocorre se
a
=
b
=
c
{\displaystyle a=b=c}
Terceiro método
editar
Pode ser demostrado que é uma área de um triângulo de Napoleão , sendo:
1
6
(
a
2
+
b
2
+
c
2
−
4
3
Δ
)
{\displaystyle {\frac {1}{6}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-4{\sqrt {3}}\,\Delta )}
logo, igual ou maior que 0.
Ligações externas
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