O diferencial total de uma função real de várias variáveis reais corresponde a uma combinação linear de diferenciais, cujos coeficientes compõem o gradiente da função.

Por exemplo, se é uma função diferenciável, então o diferencial total de z é:

Visualização

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Para uma função de 2 variáveis, como no caso acima, numa região pequena o bastante nas vizinhanças do ponto  , a imagem da função pode ser aproximada por um plano.

 
Relação entre os incrementos parciais e o total

Os pontos,   formam um paralelogramo nesse plano.

A variação total da função, que corresponde à diferença de altura entre o vértice mais alto   e o mais baixo   do paralelograma, é a soma das diferenças de altura entre os vértices superior a um dos intermediários e deste ao inferior:  .

Como as derivadas parciais são as tangentes dos ângulos em cada plano vertical, obtêm-se dos triângulos retângulos:

  e  

Quando   e   tendem a zero:  

Representação

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Em cálculo vetorial, o diferencial total de uma função   pode ser representado como:

 

onde f é uma função  .


Regra da Cadeia

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Quando os argumentos de uma função   são por sua vez também funções:   e  , os cálculos de   e   podem ser obtidos a partir da expressão do diferencial total:

Pela definição de derivada parcial:

  

O numerador pode ser visto como um diferencial total de uma função de x e y entre os pontos   e  

 ,

onde   e  

Substituindo na expressão de  ,

  

Mas,

   e

  

Logo, temos a expressão da regra da cadeia para 2 variáveis:

 

E de forma análoga:

 

Derivada total

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A derivada total é uma caso particular da regra da cadeia, quando os argumentos de f (x,y,z), só dependem, cada um deles, de uma variável: x= x(t), y=y(t), z= z(t). Aplicando a regra da cadeia para este caso:

 [1]

Ou vetorialmente:

 

Sendo A um vetor pertencente a um espaço vetorial bem definido e v o campo de velocidades, ou seja,  .

É necessário distinguir a notação de derivada total da parcial quando se deriva uma função do tipo   que é fundamental para o cálculo de variações. A variável x aqui depende do tempo  . Então, derivar em relação ao tempo resulta em:

 

Exemplo 1

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Uma função simples:

 

Exemplo 2

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Um exemplo um pouco mais complexo e ilustrativo poderia ser:   nesse caso a derivada total é:

 

Referências