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Disambig grey.svg Nota: Se procura Gradiente, a empresa e marca, veja Gradiente (empresa).

No cálculo vetorial o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. Constrói-se assim, a partir do campo escalar e de um operador denominado operador gradiente, um campo vetorial, que atrela a cada ponto do espaço o correspondente vetor gradiente para a grandeza em consideração.

O módulo do vetor gradiente indica a taxa de variação da grandeza escalar com relação à distância movida quando desloca-se na direção e sentido do vetor gradiente (deslocamentos infinitesimais).

O campo vetorial e o operador gradientes possuem diversas aplicações em matemática e ciências naturais, indo desde o cálculo de derivadas direcionais à maximização das mesmas. A exemplo, a partir do gradiente do potencial elétrico determina-se o campo elétrico; e a partir do gradiente da energia potencial determina-se o campo de força associado.

Ex: ∇= distância vertical/ distância horizontal= Gradiente. O símbolo ∇, isto é, nabla é uma representação do gradiente.

Motivação: gradiente de temperaturaEditar

Gradiente em uma única direção (derivada)Editar

Suponha que tenhamos uma viga retilínea cujas extremidades estão em contato com duas paredes a temperaturas diferentes, uma à esquerda e outra à direita, sendo a parede à direita a mais quente. Observamos que a temperatura da viga não é constante em relação ao espaço, e que cresce da esquerda para a direita ao longo de seu comprimento. Definindo a coordenada   para a extremidade à esquerda e   para a extremidade à direita, definimos a temperatura   em uma posição qualquer (variável  ) da viga como uma função  .

Entre dois pontos muito próximos, distantes de um comprimento  , teremos uma respectiva variação de temperatura  . Em uma situação unidimensional, a razão entre essas grandezas fornece o gradiente, denotado por:

 
Note que, para apenas uma dimensão, a noção de derivada e gradiente convergem.

Em condução térmica, o gradiente de temperatura é responsável pelo surgimento de um fluxo de calor, segundo a Lei de Fourier, que, para condução unidimensional, é representada por:

 
onde   corresponde ao fluxo de calor, em  , e   corresponde à condutividade térmica do material, em  . O sinal negativo indica que o calor fluirá do corpo mais quente em direção ao corpo mais frio.

Gradiente de temperatura no espaço tridimensionalEditar

Na prática, a temperatura da viga varia em função das coordenadas no espaço. Estabelecendo um ponto qualquer  , teremos, em uma situação mais próxima da realidade, uma função  que descreve a temperatura nas coordenadas de  .

Se nos deslocarmos em apenas um eixo do espaço, podemos escrever a função   considerando esse deslocamento. Para uma variação da coordenada  , por exemplo, teremos a relação:

 
Seguindo a mesma lógica, para um deslocamento entre um ponto qualquer   e outro que chamaremos de  , teremos um vetor  , havendo mudança da temperatura de   para  . Assim, teremos a relação:
 
É possível simplificar essa relação definindo um vetor gradiente de temperatura  , no qual cada componente indica a variação da temperatura em cada coordenada:
 
Assim, podemos representar a mudança de temperatura da posição   para   por:
 
sendo   o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor  .

Da mesma forma que no caso unidimensional, o vetor gradiente de temperatura terá orientação partindo do mais frio em direção ao mais quente.

Assim, no contexto de transferência de calor, teremos a Lei de Fourier aplicada ao sistema tridimensional, representada por:

 
Novamente,   corresponde ao fluxo de calor e   corresponde à condutividade térmica do material. Perceba que, como o calor flui da região de temperatura mais alta para uma de temperatura mais baixa, os vetores fluxo de calor e gradiente de temperatura terão sentidos contrários.[1]

DefiniçãoEditar

 
Dois exemplos de gradiente[2]. Em cada caso o valor da função é indicado pela escala de cinzas.

O vetor gradiente ou simplesmente gradiente de um campo escalar   é determinado via ênupla ordenada definida por:

 

ou, via notação de soma de Euler, por:

 

onde   são os vetores unitários ortogonais que definem a base a partir da qual se coordena o espaço e   representa o respectivo operador derivada parcial.

Já na notação de soma de Einstein, onde índices repetidos no mesmo fator implicam somatório, para o campo escalar φ:

 

O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica:

 

No entanto, por abuso de linguagem, é comum não se indicar a "seta" de vector e a notação poderá torna-se em:

 

O gradiente também pode ser generalizado em ordem – se fornecemos um campo vectorial obtemos um campo tensorial.

ExemploEditar

Para a função escalar

 

tem-se, na base cartesiana  

 

que fornece por resposta a ênupla

 

ou explicitamente

 


para qualquer ponto definido pelas coordenadas  , restando apenas a substituição dos respectivos valores x, y e z na expressão acima.

ExpressõesEditar

Para todo campo escalar   diferenciável em função do espaço cartesiano   temos que:

 

O gradiente é a derivada de um campo em função do espaço:

 

Em uma só dimensão o gradiente de uma função que só depende do espaço:

 
Gradiente da função em 2-D f(x, y) = xe [^- (x² + y²)] é representada graficamente plotada como setas azuis
 

PropriedadesEditar

LinearidadeEditar

O gradiente é linear:

 

Onde   é um corpo constante.

Lei de LeibnizEditar

O gradiente segue a Lei de Leibniz na multiplicação:

 

E na divisão:

 
 
A inclinação da função f (x, y) = - (+ cos²x cos²y)² descrito como um campo de vectores projetada no plano inferior.

Ortogonalidade às curvas de nívelEditar

O vector gradiente sempre será ortogonal às curvas de nível (veja no artigo "Conjunto de nível"). Seja   uma função definida em   e diferenciável em todo seu domínio.

Seja o conjunto   onde x e y são funções de um parâmetro t tal que  .

Então, temos:

  (diferenciando com relação a t pela regra da cadeia)

 

A equação final pode ser interpretada como o produto escalar do gradiente de f por um vector tangente a f em  , logo os dois são perpendiculares entre si.

Teorema do gradienteEditar

O gradiente é revertido pela integral de linha de acordo com o teorema do gradiente, que é análogo ao teorema fundamental do cálculo:

 

Derivada direcionalEditar

A derivada direcional é um escalar que representa a derivada de um campo escalar ao longo de um versor (no caso abaixo, ). Analiticamente, a derivada direcional de dada f(x,y,z) (função escalar), é a taxa de variação instantânea de f em relação à distância na direção e sentido  .[3]

 
Assim, podemos tirar algumas observações[4] a partir do produto escalar entre o gradiente de f e o versor  :
  1. Se o ângulo entre os vetores   e   , denotado por θ, for igual a zero. então teremos que a derivada direcional é máxima, e será igual ao módulo do gradiente de f(x,y,z), já que:
 
. 2. Se o ângulo θ for igual a  , então a derivada direcional terá seu valor mínimo e igual a menos o módulo do gradiente de f(x,y,z):
 
3. Se f(x,y,z) representar uma curva de nível em que f(x,y,z) = k , onde k é uma constante, e se o vetor   for tangente à tal curva de nível, então o valor da derivada direcional é nula, pois   será perpendicular a   , e normal à curva de nível . Neste caso:
 

Sistemas de coordenadasEditar

O gradiente é escrito nos diferentes sistemas de coordenadas tridimensionais nas seguintes formas:

Coordenadas cartesianasEditar

 

Para coordenadas espaciais x, y e z.

Coordenadas cilíndricas circularesEditar

 

Onde   representa a distância ao eixo z,   é o ângulo (tomado, em geral sobre o plano z=0 em relação ao eixo x) e z.

Coordenadas esféricasEditar

 

Onde   representa a distância à origem,   é o ângulo entre a reta que liga o ponto à origem e o eixo z e   é o ângulo formado pela projeção da reta que liga o ponto à origem no plano z=0 e o eixo x.


Gradiente na FísicaEditar

O conceito de gradiente na física está fortemente relacionado aos conceitos de campo conservativo e de função potencial, de tal forma que também na matemática se define campo vetorial conservativo.

Na física campos conservativos são campos que conservam a energia do sistema, isto é, campos onde não há dissipação de energia.

A função vetorial  .é um campo vetorial conservativo se existe uma função escalar  , chamada função potencial, tal que:

 
Sendo assim, dada uma função potencial  ou uma função potencial do tipo  , basta calcular o gradiente para encontrar o campo vetorial conservativo associado a  .

Como  é uma função de x, y, z então:

 

Se  é uma função implícita de x, y, z através de  , ou seja,  é necessário usar a regra da cadeia para calcular o respectivo gradiente. Potenciais deste tipo são chamados de potenciais centrais.

Cálculo do gradiente de potenciais centraisEditar

Muitos modelos de potenciais físicos são centrais, sendo assim de grande importância saber como realizar o cálculo deste tipo.

Através da regra da cadeia é possível ver que:

 

Levando em conta que  podemo ter que:

 

Igualmente para as outras variáveis do gradiente:

  e  ;

Assim, com a soma das três derivadas, temos que :

 

Esta última fórmula é a preferencial para quando se tem potenciais centrais, pois ela nos fornece o campo gradiente com apenas uma derivação.


Noção intuitiva de gradienteEditar

O gradiente é o vetor que aponta para onde a grandeza resultante da função tem seu maior crescimento.[5]

Gradientes de tensãoEditar

Os gradientes de tensão em redes elétricas são, depois dos transientes, os maiores causadores de danos em circuitos eletro-eletrônicos.

O retorno da energia elétrica numa linha de transmissão longa, após uma interrupção da mesma, faz-se acompanhar por transientes de tensão elevada até à estabilização do circuito. Simultaneamente, manifesta-se na rede um movimento oscilatório de baixa frequência, composto por gradientes positivos e negativos, denominados harmônicos, que fazem elevar e reduzir a tensão, acima e abaixo do seu valor nominal.

Referências

  1. INCROPERA, Frank (2014). Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. [S.l.]: LTC 
  2. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 19 de março de 2016 
  3. Anton, Bivens, Davis, Howard. Irl, Stephen (2014). Cálculo Volume II. Porto Alegre: Bookman. pp. 960,961 
  4. Strauch, Irene. Análise Vetorial em Dez Aulas. [S.l.: s.n.] 
  5. Pereira, Agnaldo Souza; Oliveira, Cláudio Barros Vitor Jefferson Pereira de (1 de janeiro de 2007). «Cálculo II». Universidade do Estado do Amazonas. Consultado em 11 de dezembro de 2011 

Fontes externasEditar

  • Cálculo, George B. Thomas, (Décima Edição), Volume 2; Addison Wesley/Pearson Education do Brasil, São Paulo, (2002).
  • Matemática para pais e filhos, Carol Vordeman, PubliFolha; Barry Lewis/Andrew Jeffrey/Marcus Weeks, São Paulo, (2011).

Ver tambémEditar