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Disambig grey.svg Nota: Se procura Gradiente, a empresa e marca, veja Gradiente (empresa).

No cálculo vetorial o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. Constrói-se assim, a partir do campo escalar e de um operador denominado operador gradiente, um campo vetorial, que atrela a cada ponto do espaço o correspondente vetor gradiente para a grandeza em consideração.

O módulo do vetor gradiente indica a taxa de variação da grandeza escalar com relação à distância movida quando desloca-se na direção e sentido do vetor gradiente (deslocamentos infinitesimais).

O campo vetorial e o operador gradientes possuem diversas aplicações em matemática e ciências naturais, indo desde o cálculo de derivadas direcionais à maximização das mesmas. A exemplo, a partir do gradiente do potencial elétrico determina-se o campo elétrico; e a partir do gradiente da energia potencial determina-se o campo de força associado.

Ex: ∇= distância vertical/ distância horizontal= Gradiente. O símbolo ∇, isto é, nabla é uma representação do gradiente.

Índice

DefiniçãoEditar

 
Dois exemplos de gradiente[1]. Em cada caso o valor da função é indicado pela escala de cinzas.

O vetor gradiente ou simplesmente gradiente de um campo escalar   é determinado via ênupla ordenada definida por:

 

ou, via notação de soma de Euler, por:

 

onde   são os vetores unitários ortogonais que definem a base a partir da qual se coordena o espaço e   representa o respectivo operador derivada parcial.

Já na notação de soma de Einstein, onde índices repetidos no mesmo fator implicam somatório, para o campo escalar φ:

 

O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica:

 

No entanto, por abuso de linguagem, é comum não se indicar a "seta" de vector e a notação poderá torna-se em:

 

O gradiente também pode ser generalizado em ordem – se fornecemos um campo vectorial obtemos um campo tensorial.

ExemploEditar

Para a função escalar

 

tem-se, na base cartesiana  

 

que fornece por resposta a ênupla

 

ou explicitamente

 


para qualquer ponto definido pelas coordenadas  , restando apenas a substituição dos respectivos valores x, y e z na expressão acima.

ExpressõesEditar

Para todo campo escalar   diferenciável em função do espaço cartesiano   temos que:

 

O gradiente é a derivada de um campo em função do espaço:

 

Em uma só dimensão o gradiente de uma função que só depende do espaço:

 
Gradiente da função em 2-D f(x, y) = xe [^- (x² + y²)] é representada graficamente plotada como setas azuis
 

PropriedadesEditar

LinearidadeEditar

O gradiente é linear:

 

Onde   é um corpo constante.

Lei de LeibnizEditar

O gradiente segue a Lei de Leibniz na multiplicação:

 

E na divisão:

 
 
A inclinação da função f (x, y) = - (+ cos²x cos²y)² descrito como um campo de vectores projetada no plano inferior.

Ortogonalidade às curvas de nívelEditar

O vector gradiente sempre será ortogonal às curvas de nível (veja no artigo "Conjunto de nível"). Seja   uma função definida em   e diferenciável em todo seu domínio.

Seja o conjunto   onde x e y são funções de um parâmetro t tal que  .

Então, temos:

  (diferenciando com relação a t pela regra da cadeia)

 

A equação final pode ser interpretada como o produto escalar do gradiente de f por um vector tangente a f em  , logo os dois são perpendiculares entre si.

Teorema do gradienteEditar

O gradiente é revertido pela integral de linha de acordo com o teorema do gradiente, que é análogo ao teorema fundamental do cálculo:

 

Derivada direcionalEditar

A derivada direcional é um escalar que representa a derivada dum campo escalar ao longo de um versor (no caso abaixo, ). Analiticamente, a derivada direcional de dada f(x,y,z) (função escalar), é a taxa de variação instantânea de f em relação à distância na direção e sentido  .[2]

 
Assim, podemos tirar algumas observações[3] a partir do produto escalar entre o gradiente de f e o versor  :
  1. Se o ângulo entre os vetores   e   , denotado por θ, for igual a zero. então teremos que a derivada direcional é máxima, e será igual ao módulo do gradiente de f(x,y,z), já que:
 
. 2. Se o ângulo θ for igual a  , então a derivada direcional terá seu valor mínimo e igual a menos o módulo do gradiente de f(x,y,z):
 
3. Se f(x,y,z) representar uma curva de nível em que f(x,y,z) = k , onde k é uma constante, e se o vetor   for tangente à tal curva de nível, então o valor da derivada direcional é nula, pois   será perpendicular a   , e normal à curva de nível . Neste caso:
 

Sistemas de coordenadasEditar

O gradiente é escrito nos diferentes sistemas de coordenadas tridimensionais nas seguintes formas:

Coordenadas cartesianasEditar

 

Para coordenadas espaciais x, y e z.

Coordenadas cilíndricas circularesEditar

 

Onde   representa a distância ao eixo z,   é o ângulo (tomado, em geral sobre o plano z=0 em relação ao eixo x) e z.

Coordenadas esféricasEditar

 

Onde   representa a distância à origem,   é o ângulo entre a reta que liga o ponto à origem e o eixo z e   é o ângulo formado pela projeção da reta que liga o ponto à origem no plano z=0 e o eixo x.

Noção intuitiva de gradienteEditar

O gradiente é o vetor que aponta para onde a grandeza resultante da função tem seu maior crescimento[4].

Gradientes de tensãoEditar

Os gradientes de tensão em redes elétricas são, depois dos transientes, os maiores causadores de danos em circuitos eletro-eletrônicos.

O retorno da energia elétrica numa linha de transmissão longa, após uma interrupção da mesma, faz-se acompanhar por transientes de tensão elevada até à estabilização do circuito. Simultaneamente, manifesta-se na rede um movimento oscilatório de baixa frequência, composto por gradientes positivos e negativos, denominados harmônicos, que fazem elevar e reduzir a tensão, acima e abaixo do seu valor nominal.

Referências

  1. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 19 de março de 2016. 
  2. Anton, Bivens, Davis, Howard. Irl, Stephen (2014). Cálculo Volume II. Porto Alegre: Bookman. pp. 960,961 
  3. Strauch, Irene. Análise Vetorial em Dez Aulas. [S.l.: s.n.] 
  4. Pereira, Agnaldo Souza; Oliveira, Cláudio Barros Vitor Jefferson Pereira de (1 de janeiro de 2007). «Cálculo II». Universidade do Estado do Amazonas. Consultado em 11 de dezembro de 2011. 

Fontes externasEditar

  • Cálculo, George B. Thomas, (Décima Edição), Volume 2; Addison Wesley/Pearson Education do Brasil, São Paulo, (2002).
  • Matemática para pais e filhos, Carol Vordeman, PubliFolha; Barry Lewis/Andrew Jeffrey/Marcus Weeks, São Paulo, (2011).

Ver tambémEditar