Nota: Este artigo é sobre a equação diferencial. Para a equação em mecânica de fluidos, veja
Equação de Bernoulli .
A Equação diferencial de Bernoulli , cujo nome vem de Jakob Bernoulli , é uma equação diferencial ordinária não linear , de primeira ordem, da forma:
y
′
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
y
n
.
{\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}.}
(0.1)
onde
n
{\displaystyle n}
n
≠
0
{\displaystyle n\neq 0}
n
≠
1
{\displaystyle n\neq 1}
Para a resolver, vamos fazer uma mudança de variável dependente que a vai transformar numa equação diferencial linear de primeira ordem.
Começamos por dividir ambos membros por
y
n
:
{\displaystyle y^{n}:}
y
−
n
y
′
+
P
(
x
)
y
1
−
n
=
Q
(
x
)
.
{\displaystyle y^{-n}y'+P(x)y^{1-n}=Q(x).}
(0.2)
Seja agora
w
=
y
1
−
n
{\displaystyle w=y^{1-n}}
Derivando
w
{\displaystyle w}
w
′
=
(
1
−
n
)
y
1
−
n
−
1
y
′
=
(
1
−
n
)
y
−
n
y
′
{\displaystyle w'=(1-n)y^{1-n-1}y'=(1-n)y^{-n}y'}
Multiplicando ambos membros de (0.2) por
1
−
n
,
{\displaystyle 1-n,}
(
1
−
n
)
y
−
n
y
′
+
(
1
−
n
)
P
(
x
)
y
1
−
n
=
(
1
−
n
)
Q
(
x
)
.
{\displaystyle (1-n)y^{-n}y'+(1-n)P(x)y^{1-n}=(1-n)Q(x).}
(0.3)
Ou seja,
w
′
+
(
1
−
n
)
P
(
x
)
w
=
(
1
−
n
)
Q
(
x
)
.
{\displaystyle w'+(1-n)P(x)w=(1-n)Q(x).}
(0.4)
A última equação é uma equação diferencial linear que (supondo, como acima,
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
Q
(
x
)
{\displaystyle Q(x)}
w
{\displaystyle w}
y
1
−
n
.
{\displaystyle y^{1-n}.}
Vamos resolver a seguinte equação diferencial
d
y
d
x
+
1
x
y
=
x
y
2
.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}.}
(0.5)
Dividindo ambos os membros por
y
2
{\displaystyle y^{2}}
y
′
y
−
2
+
1
x
y
−
1
=
x
.
{\displaystyle y'y^{-2}+{\frac {1}{x}}y^{-1}=x.}
(0.6)
Pondo
w
=
y
−
1
.
{\displaystyle w=y^{-1}.}
w
′
=
−
y
−
2
y
′
.
{\displaystyle w'=-y^{-2}y'.}
A equação (0.6) é equivalente a
−
y
−
2
y
′
−
1
x
y
−
1
=
−
x
.
{\displaystyle -y^{-2}y'-{\frac {1}{x}}y^{-1}=-x.}
(0.7)
Substituindo
y
{\displaystyle y}
w
,
{\displaystyle w,}
w
′
−
1
x
w
=
−
x
.
{\displaystyle w'-{\frac {1}{x}}w=-x.}
(0.8)
Usando a notação anterior,
P
(
x
)
=
−
1
x
{\displaystyle P(x)=-{\frac {1}{x}}}
Q
(
x
)
=
−
x
.
{\displaystyle Q(x)=-x.}
∫
P
(
x
)
d
x
=
∫
−
1
x
d
x
=
−
ln
|
x
|
=
ln
|
x
|
−
1
{\displaystyle \int _{}^{}P(x)\,dx=\int _{}^{}-{\frac {1}{x}}\,dx=-\ln |x|=\ln |x|^{-1}}
onde
e
∫
P
(
x
)
d
x
=
e
ln
|
x
|
−
1
=
|
x
|
−
1
{\displaystyle e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}=e^{\ln |x|^{-1}}=|x|^{-1}}
e
∫
e
∫
P
(
x
)
d
x
Q
(
x
)
d
x
=
∫
|
x
|
−
1
(
−
x
)
d
x
=
{
∫
−
1
d
x
,
se
x
≥
0
∫
1
d
x
,
se
x
<
0
=
{
−
x
se
x
≥
0
x
se
x
<
0
=
−
|
x
|
.
{\displaystyle \int _{}^{}e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}Q(x)\,dx=\int _{}^{}|x|^{-1}(-x)\,dx=\left\{{\begin{matrix}\int _{}^{}-1\,dx,&{\mbox{se }}x\geq 0\\\int _{}^{}1\,dx,&{\mbox{se }}x<0\end{matrix}}\right.=\left\{{\begin{matrix}-x&{\mbox{se }}x\geq 0\\x&{\mbox{se }}x<0\end{matrix}}\right.=-|x|.}
A solução geral de (0.8) é dada por
e
∫
P
(
x
)
d
x
w
=
∫
e
∫
P
(
x
)
d
x
Q
(
x
)
d
x
+
C
{\displaystyle e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}w=\int _{}^{}e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}Q(x)\,dx+C}
ou seja,
|
x
|
−
1
w
=
−
|
x
|
+
C
.
{\displaystyle |x|^{-1}w=-|x|+C.}
(0.9)
Para
x
≠
0
,
{\displaystyle x\neq 0,}
w
=
−
|
x
|
2
+
C
|
x
|
,
{\displaystyle w=-|x|^{2}+C|x|,}
ou seja, atendendo a que C é uma constante qualquer,
w
=
−
|
x
|
2
+
C
x
.
{\displaystyle w=-|x|^{2}+Cx.}
Substituindo
w
{\displaystyle w}
y
−
1
,
{\displaystyle y^{-1},}
y
−
1
=
−
x
2
+
C
x
,
{\displaystyle y^{-1}=-x^{2}+Cx,}
ou ainda,
y
=
1
−
x
2
+
C
x
.
{\displaystyle y={\frac {1}{-x^{2}+Cx}}.}
Bernoulli, Jacob (1695), «Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis», Acta Eruditorum Hairer, Nørsett & Wanner (1993) .Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems , ISBN 978-3-540-56670-0 , Berlin, New York: Springer-Verlag 
Nota: Este artigo é sobre a equação diferencial. Para a equação em mecânica de fluidos, veja Equação de Bernoulli.
