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Equação diferencial de Bernoulli

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Disambig grey.svg Nota: Este artigo é sobre a equação diferencial. Para a equação em mecânica de fluidos, veja Equação de Bernoulli.

A Equação diferencial de Bernoulli, cujo nome vem de Jakob Bernoulli, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma:

(0.1)

onde é um qualquer número real. Para e esta equação diferencial não é linear.

DesenvolvimentoEditar

Para a resolver, vamos fazer uma mudança de variável dependente que a vai transformar numa equação diferencial linear de primeira ordem.

Começamos por dividir ambos membros por  

  (0.2)

Seja agora

 

Derivando   obtemos

 

Multiplicando ambos membros de (0.2) por   fica

  (0.3)

Ou seja,

  (0.4)

A última equação é uma equação diferencial linear que (supondo, como acima,   e   contínuas) pode ser resolvida pelo processo anteriormente descrito, chegando-se à solução geral de (0.9), depois de se substituir   por  

ExemploEditar

Vamos resolver a seguinte equação diferencial

  (0.5)

Dividindo ambos os membros por   fica

  (0.6)

Pondo

 
 

A equação (0.6) é equivalente a

  (0.7)

Substituindo   por   vem

  (0.8)

Usando a notação anterior,

  e  

 

onde

 

e

 

A solução geral de (0.8) é dada por

 

ou seja,

  (0.9)

Para   (0.9) é equivalente a

 

ou seja, atendendo a que C é uma constante qualquer,

 

Substituindo   por   vem

 

ou ainda,

 

Ver tambémEditar

ReferênciasEditar

  • Bernoulli, Jacob (1695), «Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis», Acta Eruditorum . Cited in Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
  • Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, ISBN 978-3-540-56670-0, Berlin, New York: Springer-Verlag .

Ligações externasEditar