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Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas

Em matemática, uma equação do quarto grau ou equação quártica é uma equação polinomial monovariável de grau quatro. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:

em que os coeficientes , , , e são elementos de um corpo, geralmente o dos números reais ou complexos.

Índice

ExemplosEditar

 
 
 

Existência de soluçõesEditar

O teorema fundamental da álgebra garante que uma equação quártica sempre terá quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas, no conjunto dos números complexos.

Formas especiaisEditar

Equação biquadráticaEditar

 Ver artigo principal: Equação biquadrada

Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da seguinte forma:

 
Como  , esta equação pode ser reduzida a uma equação do segundo grau através da mudança de variáveis  , de modo que
 
Os valores de   que satisfazem esta equação são dados pela fórmula:   Logo,   e  .

Produtos NotáveisEditar

Toda equação do 4° grau que, na forma reduzida   apresente coeficientes nulos, será um produto notável com as raízes em  

  • Exemplo:   quando reduzido fica na forma   logo   ou  

Formula de Wilson x⁴=y²

O método de FerrariEditar

As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari. Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:

 
Nota-se que a equação geral   pode ser reduzida a este caso através da transformação   e dividindo a equação resultante por  .

Ao dividirmos a equação por  , a equação terá a forma  , onde  ,  ,   e  [1]. Ao realizar a substituição  a equação assumirá a forma reduzida  , onde[1]

 

 

 

A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual   cuja solução pode ser obtida através dos métodos de resolução de equações do segundo grau.

No primeiro passo, o primeiro membro da equação,   é transformado no quadrado baseado em   ou seja,  

 
 
 
Em seguida, somam-se termos em uma nova variável   porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar   devemos somar também   ou seja:
 
Reescrevendo:
 
O segundo membro da equação pode ser reescrito como   onde   e   são soluções da equação quadrática

  ou seja,  

Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que   seja um quadrado, então escreveremos que   que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja nula.

Em outras palavras, isto requer:

 
que, expandido, gera a equação do terceiro grau auxiliar:
 
onde apenas uma raiz   é necessária (recomenda-se utilizar uma raiz real). Quando  , a equação sempre irá possuir uma raiz real positiva[1].

Retomando o cálculo da incógnita   temos que  

Com isso a equação   pode ser reescrita como   ou  

que resulta em uma diferença de dois quadrados:

 

Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de equações de segundo grau nas equações seguintes:

 

 


Ver tambémEditar

Referências

  1. a b c Felipe, Henrique (9 de junho 2018). «Algoritmo da Equação do Quarto Grau». Blog Cyberini. Consultado em 4 de julho de 2018 

Ligações externasEditar

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