Equação do sexto grau

Equações monovariáveis do sexto grau são equações que podem ser expressas na forma $ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g=0$, onde $x$ é a incógnita, $a;b;c;d;e;f$ e $g$ são coeficientes e $a\neq 0,$ pois no contrário a equação teria grau 5.

• Exemplo:

Gráfico de uma função de sexto grau.

1. $x^{6}+4x^{5}-58x^{4}-148x^{3}+813x^{2}+144x-756=0,$ cujas raízes são: $x_{1,2}=\pm 1,x_{3,4}=\pm 6,x_{5}=3$ e $x_{6}=-7$
2. $x^{6}-3x^{4}+3x^{2}-1=0,$ cujas raízes são: $x_{1,2,3}=1$ e $x_{4,5,6}=-1$
3. $28x^{6}+89x^{5}-408x^{4}-616x^{3}+790x^{2}+207x-90=0,$ cujas raízes são: $x_{1}=3,x_{2}=1,x_{3}={\dfrac {1}{4}},x_{4}=-{\dfrac {3}{7}},x_{5}=-2$ e $x_{6}=-5$

Toda equação do sexto grau possui exatamente 6 soluções(ou raízes), quer reais, quer complexas.

Pelo teorema de Abel-Ruffini, equações de grau superior a 5 não podem ser, em maioria, resolvidas por radicais, porém existem exceções.

Equação Triquadrática

A equação triquadrática é um exemplo de equação de sexto grau solúvel por radicais, que é expressa na forma:

$ax^{6}+dx^{3}+g=0$

que pode ser resolvida utilizando a substituição $x={\sqrt[{3}]{y}}$, resultando na equação quadrática $ay^{2}+dy+g,$ cujas raízes são expressas por $y={\dfrac {-d\pm {\sqrt {d^{2}-4ag}}}{2a}},$ onde as raízes de $x$ podem ser descobertas de duas maneiras:

Primeiro método: descobrem-se as duas raízes $y_{1}$ e $y_{2}$, tira-se as raízes cúbicas simples e tem-se $x_{1}$ e $x_{2},$ divide-se o polinômio por $x-x_{1}$ e $x-x_{2}$: ${\dfrac {ax^{6}+dx^{3}+g}{(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})}}$ e obtém-se uma equação quártica, da qual pode-se extrair as últimas 4 raízes.

Segundo método: Após descobrir $y_{1}$ e $y_{2}$, retira-se as 3 raízes cúbicas de $y_{1}$ e as 3 raízes cúbicas de $y_{2}$, logo tem-se as 6 raízes de $x$.

• Exemplo:

1. $x^{6}+4x^{3}+1=0,$ primeiro se utiliza a fórmula $x={\sqrt[{3}]{y}},$ logo se tem: $y^{2}+4y+1=0,$ onde as raízes de $y$ são dadas por: $y={\dfrac {-4\pm {\sqrt {(4)^{2}-4\cdot 1\cdot 1}}}{2\cdot 1}},$ que simplificando chegamos em $y=-2\pm {\sqrt {3}}$, então $x^{6}+4x^{3}+1=0$ possui as raízes $x_{1,2,3}={\sqrt[{3}]{-2+{\sqrt {3}}}}$ e $x_{4,5,6}={\sqrt[{3}]{-2-{\sqrt {3}}}}$

Equação Bicúbica

A equação bicúbica é uma equação de sexto grau no formato $ax^{6}+cx^{4}+ex^{2}+g=0$ e pode-se usar a substituição de $x={\sqrt {y}},$ onde a equação se transforma em $ay^{3}+cy^{2}+ey+g=0,$ que é uma cúbica resolvente, onde após achadas as raízes, pode-se tirar suas raízes quadradas tal que: $x_{1,2}=\pm {\sqrt {y_{1}}},x_{3,4}=\pm {\sqrt {y_{2}}}$ e $x_{5,6}=\pm {\sqrt {y_{3}}}.$

• Exemplo: $x^{6}-14x^{4}+49x^{2}-36=0,$ utiliza-se a substituição $x={\sqrt {y}},$ que transforma a equação em $y^{3}-14y^{2}+49y-36=0,$ pela variação de sinais percebe-se que $y$ possui raízes positivas, pelo teorema das raízes racionais, há haver raízes inteiras, estas apenas poderão ser $\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 9,\pm 18$ e $\pm 36.$ Com a substituição, tem-se que apenas $1,4$ e $9$ são soluções de $y.$ Com isso temos que $x=\pm {\sqrt {y}},$ logo a equação $x^{6}-14x^{4}+49x^{2}-36=0$ possui as raízes $x_{1,2}=\pm 1,x_{3,4}=\pm 2$ e $x_{5,6}=\pm 3.$