Escalar de curvatura de Ricci

Em matemática, a curvatura escalar de uma superfície é a familiar curvatura gaussiana. Para as variedades riemannianas de dimensão mais alta (n > 2), é o dobro da soma de todas as curvaturas seccionais ao longo de todos os 2-planos atravessados por um certo marco ortonormal. Matematicamente a curvatura escalar coincide também o traço total da curvatura de Ricci assim como do tensor de curvatura.

Expressão em componentesEditar

O escalar de curvatura de Ricci   pode ser expresso em termos do tensor métrico   (e suas derivadas primeiras) que define a geometria da superfície ou variedade riemanniana. Usando a convenção de soma de Einstein, obtemos

 ,

em que os símbolos de Christoffel que aparecem na expressão anterior são calculados a partir das derivadas primeiras das componentes do tensor métrico, isto é,

 .

Também podemos representar o tensor escalar da curvatura de Ricci como

 ,

sendo   o tensor de curvatura de Ricci.

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