Traço (álgebra linear)

Na álgebra linear, o traço de uma matriz quadrada é a função matricial que associa a matriz à soma dos elementos da sua diagonal principal.[1] Se A=[aij], então

.

O traço de uma aplicação linear num espaço vectorial de dimensão finita é o traço da matriz que representa essa aplicação em relação a uma dada base. Este traço está bem definido porque o traço de uma matriz é invariante por semelhanças (o que é uma consequência do facto de que tr(AB)=tr(BA), para quaisquer matrizes quadradas A e B da mesma ordem).

PropriedadesEditar

 [2]
 , para  [2]


  • o traço de uma matriz quadrada é igual ao da sua transposta:
 
  • o traço de uma matriz simétrica é igual à soma dos seus valores próprios (autovalores).[3]
  • o traço de um produto de matrizes quadradas não depende da ordem do produto:
 [2]
  • Seja   uma base ortonormal para o espaço linear em questão, então a definição pode ser reescrita como:
 

GeneralizaçãoEditar

Seja   um espaço de Hilbert separável e   uma família ortonormal densa em  . O traço de um operador   é definido como:

  contanto que a série:
  venha a convergir.

Um operador para o qual o traço está definido é chamado de operador classe tracial e é sempre compacto.

Ligações externasEditar

Álgebra Linear e suas aplicações (ebook gratuito)


Referências

  1. Mathematik.de, Matrizen, 3.4 Spur einer quadratischen Matrix [em linha]
  2. a b c Plenus (4 de março de 2019). «Traço de uma Matriz - Teoria e Exercício». Smartgrad - Educacionalplenus. Consultado em 6 de março de 2019 
  3. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 19 de março de 2016 
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