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Uma migração da célula Dictyostelium discoideum do tipo selvagem, cujo limite é colorido por curvatura. Barra de escala: 5 µm; Duração: 22 segundos.

Em matemática, uma curvatura é qualquer um de uma série de conceitos vagamente relacionadas em diferentes áreas da geometria. Intuitivamente, curvatura é a quantidade na qual um objeto geométrico se desvia do plano, ou reto no caso de uma linha, mas esta é definida de diferentes formas, dependendo do contexto. Há uma diferença fundamental entre a curvatura extrínseca, que é definida para objetos incorporados em outro espaço (geralmente um espaço euclidiano) de um modo que se relaciona com o raio de curvatura de círculos que tocam o objeto, e curvatura intrínseca, que é definida em cada ponto de uma variedade de Riemann. Este artigo lida principalmente com o primeiro conceito.

O exemplo clássico de curvatura extrínseca é a de um círculo, que em todos os lugares tem curvatura igual ao inverso do seu raio. Círculos menores dobram-se mais acentuadamente, e, portanto, têm maior curvatura. A curvatura de uma curva suave é definida como a curvatura do seu círculo osculador em cada ponto.

Mais vulgarmente isto é uma quantidade escalar, mas pode-se também definir um vetor de curvatura que leva em conta a direção da dobra, bem como a sua nitidez. A curvatura de objetos mais complexos (tais como superfícies ou até mesmo curvas n-dimensionais de espaços) é descrita por mais objetos complexos de álgebra linear, tais como o tensor de curvatura geral de Riemann.

O restante deste artigo discute, a partir de uma perspectiva matemática, alguns exemplos geométricas de curvatura: a curvatura de uma curva incorporada num plano e que a curvatura de uma superfície no espaço euclidiano. Veja os links abaixo para ler mais.

Índice

Curvatura na físicaEditar

 Ver artigo principal: Curvatura do espaço-tempo

A Relatividade geral prevê que um corpo de grande massa pode alterar a geometria do espaço-tempo, tornando-o curvo. Essa curvatura do espaço-tempo quadridimensional altera a trajetória dos corpos que passem em torno de si, como a deflexão da luz, que tem seus feixes arqueados para dentro pelo campo gravítico do corpo. Nesse espaço-tempo a geodésica entre dois observadores não é a reta.

Geometria diferencialEditar

 
Diferentes curvaturas.

Seja C o gráfico de uma função vetorial, no espaço bi ou tridimensional, parametrizada em função do comprimento de arco. A ideia de curvatura está ligada à variação do vetor tangente com respeito ao comprimento de arco s. O vetor tangente T varia somente em direção, visto que tem comprimento constante de norma unitária. Se C for uma reta, a direção de T permanece constante e dizemos então que tem curvatura nula. Note também que um círculo terá curvatura constante, já que o raio da curvatura do círculo é constante.

Se C for uma curva lisa no espaço bi ou tridimensional parametrizada pelo comprimento do arco, então a curvatura de C, é uma função escalar denotada por  (onde κ é a letra grega kappa) e é definida por:

 

Observe que  é uma função real de s, uma vez que é o comprimento de  que mede a curvatura.

Temos que  é paralelo ao vetor normal  [1], ou seja

 , onde  

 
Curva C. No ponto P, C se curva fortemente, no ponto Q o encurvamento é praticamente nulo e no ponto R a curva C curva-se levemente.

A curvatura em termos de um parâmetro qualquer tEditar

Seja   uma função vetorial lisa no espaço bi ou tridimensional. A curvatura  pode ser determinada por[2]:

 

 

A representação de limite para a curvatura de uma curva no seu ponto   é  , onde   é o comprimento da curva entre o ponto   e um ponto  , também na curva, de modo que a distância entre P e Q tenda a 0.   é o ângulo de giro da tangente da curva, entre o ponto P e Q.

Interpretação da curva no espaço bidimensional:

κ = |dΦ|/|ds|

A curvatura no espaço bidimensional pode ser interpretada como a magnitude da taxa de variação do ângulo (medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo até o vetor tangente unitário) com relação à posição s. Quanto maior for a curvatura, mais rápido varia o ângulo em relação a s. No caso de uma reta, o ângulo é constante e, consequentemente, a curvatura é nula.

Raio de CurvaturaEditar

 
Círculo osculador ilustrando as propriedades da curvatura.

Em geral, se uma curva C no espaço bidimensional tem curvatura  não nula no ponto P, então o círculo de raio  que tangencia a curva C no ponto P e centro no lado côncavo da curva em P é chamado de círculo de curvatura ou círculo osculador em P. Nesse ponto P, além de o círculo e a curva se tangenciarem, ambos têm a mesma curvatura. O círculo de curvatura em P é o círculo que melhor aproxima a curva C na vizinhança de P[2].

Referências

  1. SAUTER, Esequia; SOUTO DE AZEVEDO, Fabio; ALMEIDA KONZEN, Pedro Henrique (2018). Cálculo Vetorial - Um Livro Colaborativo. Porto Alegre: [s.n.] p. 11 
  2. a b ANTON, Howard (2014). Cálculo. Porto Alegre: Bookman. p. 877. ISBN 9788582602454 


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