Espaço vetorial simplético

espaço vetorial equipado com uma forma bilinear não degenerada alternada

Um espaço vetorial simplético[1] é um espaço vetorial sobre um corpo junto com uma forma simplética, isto é, uma função com as seguintes propriedades:

i) bilinearidade: é linear em cada argumento, isto é, para cada , é uma transformação linear de em , e analogamente para o segundo argumento.

ii) alternância: para todo , .

iii) não-degenerescência: se é tal que para todo , então .

Note que, de ii), obtemos quaisquer que sejam e ; usando a bilinearidade, temos que , isto é, toda forma alternada é antissimétrica. A recíproca é verdadeira em corpos de característica diferente de .

Se tem dimensão finita, a escolha de uma base ordenada nos dá uma matriz que é não-singular (pois é não-degenerada), antissimétrica e “oca” (hollow) i.e. todas as entradas da diagonal principal são nulas.

Lema. Seja uma matriz quadrada com entradas num anel comutativo com identidade. Se é ímpar e é antissimétrica e oca, então .

Prova. Como é oca, temos , onde é o conjunto de todas as permutações de sem pontos fixos. Como é ímpar, não há involuções – elementos com – em . Em , declare . Trata-se de uma relação de equivalência. Pela ausência de involuções, cada classe de equivalência tem exatamente dois elementos e é da forma . Logo, se é um conjunto de representantes, então , reunião disjunta. A antissimetria de finaliza a prova.

Como corolário, obtemos que todo espaço simplético de dimensão finita possui dimensão par.

Se e são espaços simpléticos (sobre o mesmo corpo), uma transformação será dita simplética (ou um simplectomorfismo) quando for linear e satisfizer . É imediato que se é simplética, então . Um isomorfismo de em é uma transformação simplética para a qual existe uma inversa também simplética. Não surpreendentemente, no caso dos espaços simpléticos, se uma transformação simplética é invertível, então é um isomorfismo.

Bases simpléticasEditar

Seja   um espaço simplético de dimensão finita  . Uma base ordenada   é dita simplética quando  ,  . Sem supor que um espaço simplético finitamente gerado possui dimensão par, é possível mostrar que há uma base com essas propriedades, provando em particular que a dimensão tem de ser par. Trata-se de um processo análogo ao de Gram-Schmidt.

Considere agora um espaço vetorial  . Considerando espaço vetorial  , construído a partir dos pares   com  , podemos definir uma forma bilinear alternada   por  . Vê-se facilmente que   é não-degenerada. Num espaço simplético  , um subespaço   que induz um isomorfismo   é chamado de subespaço Lagrangiano. Que um isomorfismo desse tipo existe é consequência imediata da existência de uma base simplética.

OrientaçãoEditar

Uma forma bilinear alternada   num espaço vetorial real   de dimensão   é não degenerada se e somente se   é par e   é uma forma de volume. Num espaço simplético   com base simplética  ,  . Então

 

Logo   orienta  .

Variedades simpléticasEditar

Seja   uma variedade diferenciável. Uma  -forma   será dita não degenerada quando o seguinte se verificar: se   é um campo de vetores tal que   para todo campo  , então  . Isso é equivalente a exigir que   seja não degenerada para todo  .

Uma variedade simplética é um par  , com   uma  -forma não-degenerada e fechada:  .

O fibrado cotangenteEditar

O fibrado cotangente[2]   de uma variedade   tem como fibra fixada em   o espaço dual  . A projeção   será denotada por  . Para um sistema local de coordenadas   em  , as bases   para as fibras do fibrado tangente   sobre   determinam bases duais para as fibras de   sobre  , que denotaremos por  , de forma que para   temos  . Em   temos então o sistema adaptado de coordenadas  , que será denotado por  .

A 1-forma tautológicaEditar

Podemos definir a função   por  . Trata-se de uma  -forma em  , chamada de forma tautológica. Num sistema adaptado  ,   se expressa como

 .

A estrutura simplética canônica do fibrado cotangenteEditar

Se fizermos  , então   é uma forma simplética em  . Num sistema adaptado,  . Disso é consequência que   é não degenerada. A variedade simplética   é orientada pela forma  , como anteriormente.

A estrutura simplética canônica de um fibrado cotangente motiva o seguinte

Teorema (Darboux). Se   é uma variedade simplética, em torno de cada ponto há um sistema simplético de coordenadas, isto é, uma carta local   em que   se expressa como  .

Uma forma simplética dá, portanto, uma orientação.

Mecânica HamiltonianaEditar

Suponha que um sistema tenha a variedade diferenciável   como espaço de configurações. No fibrado cotangente, com a estrutura simplética canônica, podemos considerar funções hamiltonianas, isto é, funções suaves  . A definição de transformação canônica torna-se mais simples: trata-se de um difeomorfismo   que preserva, via pullback, a forma simplética canônica.

Por não-degenerescência, a uma função hamiltoniana podemos associar um campo de vetores   da seguinte maneira:   (contração). Isso permite definir colchetes de Poisson: se   são hamiltonianas,   é definida por  . Em coordenadas simpléticas, recuperamos as fórmulas clássicas. Note-se que a definição de Poisson se generaliza para variedades simpléticas quaisquer. Também se generalizam o Teorema dos Toros Invariantes e a existência de cartas locais (ou semi-locais, em vizinhanças de um toro invariante) do tipo ângulo-ação.[3]

Classificação de -grupos finitos extraespeciaisEditar

Um  -grupo (  primo) finito   é dito extraespecial quando   e  . Exemplos de grupos extraespeciais[4] são o grupo diedral de simetrias do quadrado,   e o grupo quaterniônico  , ambos de ordem  . Esses dois grupos não são isomorfos. De fato, podemos definir o homomorfismo  :

 

Temos  . Como   possui uma única involução, a saber  , quando   é um corpo de característica  , obtemos que   e   não são isomorfos, já que   possui mais de uma involução.


Seja   um  -grupo finito extraespecial com  . O subgrupo   é cíclico de ordem  ; fixemos um gerador  . Se  , então   (isso é verdade pois   é central; use as fórmulas   etc). Como   ,  , donde  . Segue que   é um  -grupo abeliano elementar que pode, portanto, ser visto como um espaço vetorial sobre o corpo   de   elementos. Se   o comutador   depende apenas das classes   em  , então faz sentido escrever   para   bem-definida. Notando que   e  , temos que   é uma forma bilinear alternada. Se   para todo  , então   para todo  ; isso significa que  , logo   é um espaço simplético (de dimensão finita, obviamente). Considere agora uma decomposição simplética  , onde   é bidimensional com base   de tal forma que   se   e   para quaisquer  . Faça  . Então   contém   pois  , e é um grupo não-Abeliano de ordem  . Temos agora que  . Ademais,   e   se  . A ordem de   é claramente  .

Produtos centraisEditar

Um grupo   é dito ser o produto central dos subgrupos normais   quando  ,   para   e   para todo   (já que   temos que  ). Intuitivamente, os centros estão sendo identificados.

Observação 1. Se   é um produto central dos subgrupos normais  , então   é um produto central dos subgrupos  . Além disso, se   é um produto central dos subgrupos  , então   é um produto central dos   ( ,  ),  .

Observação 2. Da mesma forma que um produto semidireto interno dá origem a um produto semidireto externo, é possível construir externamente um produto central de dois grupos   com centros isomorfos. Dado um isomorfismo  , seja  . O grupo   é um produto central dos subgrupos   e  . Reciprocamente, se   é um produto central interno dos subgrupos normais  , então   é isomorfo ao produto central externo de   por   segundo o isomorfismo idêntico  .

Da discussão que precede os três parágrafos anteriores, temos a seguinte

Proposição. Um  -grupo extraespecial é um produto central de   subgrupos não-Abelianos de ordem   cada, tendo pois ordem  . Um produto central de grupos não-Abelianos de ordem   é um grupo extraespecial.

Não é difícil classificar grupos não-abelianos de ordem  ,   primo. Se  , ocorrem apenas os exemplos do início desta seção,   e  . Se   é ímpar, as classes de isomorfismo dividem-se em duas, de acordo com a maior ordem possível para um elemento (o expoente do grupo): se o expoente for  , teremos um isomorfismo com  ; se o expoente for   ter-se-á um isomorfismo com  . Todos os grupos não-Abelianos de ordem   são extraespeciais.

Proposição. Um grupo não-Abeliano de ordem   e expoente  , para  , tem a apresentação mencionada.

Prova. Seja   de ordem   e tome   tal que  . Caso   tenha ordem  , então   tem ordem  ; seja  . Temos que   tem ordem   (aqui usamos a hipótese de que   é ímpar junto com a fórmula  , que vale pois   é central). Como   e   tem ordem  , os subgrupos gerados por   intersectam-se trivialmente, donde segue que   por comparação de número de elementos. Como   pois   é não-Abeliano, segue que  , logo  ,  . Então se  ,  . Fazendo  , temos finalmente que   e  , como queríamos. O caso em que   já tem ordem   é análogo.

Concretamente, o primeiro tipo de isomorfismo é representado pelo grupo de matrizes   (se   esse subgrupo de   é diedral), enquanto o segundo é representado pelo produto semidireto  , com o grupo cíclico   operado canonicamente, por avaliação, pelo grupo   (note-se que   então esse gerador de   tem de fato ordem  ).

Agora seja   um grupo extraespecial de ordem  . Se  , afirmo que   é um produto central de   grupos   ou um produto central de  grupos   e apenas um  . Isso porque o produto central  de dois grupos   é isomorfo ao produto central  . Usando as apresentações do início da seção, monte apresentações identificando os centros para  ,   e verifique que   é um isomorfismo. (Note que a apresentação é obtida fazendo o quociente  , como na Observação 2)

Se  , então ou   tem expoente   ou   é um produto central de grupos não abelianos de ordem   e expoente   e apenas um grupo não abeliano de ordem   e expoente  . De fato, se   e   são grupos não-Abelianos de ordem   com   de expoente   e   de expoente  , temos que os produtos centrais   e   são isomorfos. Um isomorfismo   é definido por   É isomorfismo pois é sobrejetivo e ambos os grupos têm ordem  , ou note que a associação que se estende à inversa é  . Aqui,  ,  ; em  ,   e em  ,  ,  ,  ,  ,  , além, claro, das relações de centralização e daquelas que caracterizam   como representantes dos tipos de isomorfismo mencionados há pouco. Agora basta notar que todo elemento de um monoide no alfabeto   em que são impostas apenas as relações   de comutatividade e   decorrente do isomorfismo, é da forma   ou   (estamos usando implicitamente a Observação 1).

Os argumentos anteriores provam o seguinte

Teorema. Para cada   e para cada   primo ímpar, existem duas classes de isomorfismo de grupos extraespeciais de ordem  , de acordo com o expoente,   ou  . A classe de expoente   é representada por um produto central de   grupos isomorfos a  ; a outra, pelo produto central de um grupo isomorfo a   e   grupos isomorfos a  . É possível exibir apresentações para representantes de cada uma das duas classes.

Um resultado similar, como já vimos, vale para  .

Raciocínio inteiramente análogo mostra que um  -grupo finito em que o centro é cíclico e o subgrupo derivado tem ordem   (grupos chamados de extraespeciais generalizados) possui a seguinte propriedade:   e   é um  -grupo abeliano elementar de posto par. Esses grupos podem ser expressados como produto central de grupos de dois tipos. Há duas classes de isomorfismo quando fixados   e o índice   do centro. Isso permite exibir apresentações como anteriormente.

ReferênciasEditar

  1. Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971). Linear Algebra. United States: Pearson 
  2. Spivak, Michael (2005). A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. I. Houston, Texas: Publish or Perish 
  3. Spivak, Michael (2011). Physics for Mathematicians: Mechanics I. Houston, Texas: Publish or Perish 
  4. Robinson, Derek J S (1996). A Course in the Theory of Groups. United States: Springer-Verlag