Espaço vetorial simplético

Um espaço vetorial simplético é um espaço vetorial $V$ sobre um corpo $F$ junto com uma forma simplética, isto é, uma função $\omega \colon V\times V\rightarrow F$ com as seguintes propriedades:

i) bilinearidade: $\omega$ é linear em cada argumento, isto é, para cada $x\in V$, $v\mapsto \omega (v,x)$ é uma transformação linear de $V$ em $F$, e analogamente para o segundo argumento.

ii) alternância: para todo $v\in V$, $\omega (v,v)=0$.

iii) não-degenerescência: se $v\in V$ é tal que $\omega (v,u)=0$ para todo $u\in V$, então $v=0$.

Note que, de ii), obtemos $\omega (u+v,u+v)=0$ quaisquer que sejam $u\in V$ e $v\in V$; usando a bilinearidade, temos que $\omega (u,v)=-\omega (v,u)$, isto é, toda forma alternada é antissimétrica. A recíproca é verdadeira em corpos de característica diferente de $2$.

Se $V$ tem dimensão finita, a escolha de uma base ordenada $v_{1},\ldots ,v_{n}$ nos dá uma matriz $W={\big (}\omega (v_{i},v_{j}){\big )}_{i,j}\in \operatorname {Mat} _{n,n}(F)$ que é não-singular (pois $\omega$ é não-degenerada), antissimétrica e “oca” (hollow) i.e. todas as entradas da diagonal principal são nulas.

Lema. Seja $A\in \operatorname {Mat} _{n,n}(R)$ uma matriz quadrada com entradas num anel $R$ comutativo com identidade. Se $n$ é ímpar e $A$ é antissimétrica e oca, então $\det A=0$.

Prova. Como $A$ é oca, temos $\textstyle {\det A=\sum _{\sigma \in D}(\operatorname {sgn} \sigma )\,a_{1,\sigma (1)}\ldots a_{n,\sigma (n)}}$, onde $D$ é o conjunto de todas as permutações de $S_{n}$ sem pontos fixos. Como $n$ é ímpar, não há involuções – elementos $\tau$ com $\tau ^{2}=1$ – em $D$. Em $D$, declare $\tau \equiv \sigma \iff \tau =\sigma ^{\pm 1}$. Trata-se de uma relação de equivalência. Pela ausência de involuções, cada classe de equivalência tem exatamente dois elementos e é da forma $\{\sigma ,\sigma ^{-1}\}$. Logo, se $D^{\prime }$ é um conjunto de representantes, então $D=D^{\prime }\cup {\big (}D^{\prime })^{-1}$, reunião disjunta. A antissimetria de $A$ finaliza a prova.

Como corolário, obtemos que todo espaço simplético de dimensão finita possui dimensão par.

Se $(V,\omega )$ e $(W,\eta )$ são espaços simpléticos (sobre o mesmo corpo), uma transformação $t\colon V\rightarrow W$ será dita simplética (ou um simplectomorfismo) quando for linear e satisfizer $\eta (t(u),t(v))=\omega (u,v)$. É imediato que se $t$ é simplética, então $\operatorname {Ker} t=\{0\}$. Um isomorfismo de $(V,\omega )$ em $(W,\eta )$ é uma transformação simplética para a qual existe uma inversa também simplética. Não surpreendentemente, no caso dos espaços simpléticos, se uma transformação simplética é invertível, então é um isomorfismo.

Bases simpléticas

Seja $(V,\omega )$ um espaço simplético de dimensão finita $2n$. Uma base ordenada $x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}$ é dita simplética quando $\omega (x_{i},x_{j})=\omega (y_{i},y_{j})=0$, $\omega (x_{i},y_{j})=\delta _{i,j}$. Sem supor que um espaço simplético finitamente gerado possui dimensão par, é possível mostrar que há uma base com essas propriedades, provando em particular que a dimensão tem de ser par. Trata-se de um processo análogo ao de Gram-Schmidt.

Considere agora um espaço vetorial $U$. Considerando espaço vetorial $U\oplus U^{\ast }$, construído a partir dos pares $(u,t)$ com $u\in U,t\in U^{\ast }$, podemos definir uma forma bilinear alternada $\omega _{U}$ por $\omega {\big (}(u,t),(v,s){\big )}=s(u)-t(v)$. Vê-se facilmente que $\omega$ é não-degenerada. Num espaço simplético $(V,\eta )$, um subespaço $U\leq V$ que induz um isomorfismo $h\colon (U\oplus U^{\ast },\omega _{U})\cong (V,\eta )$ é chamado de subespaço Lagrangiano. Que um isomorfismo desse tipo existe é consequência imediata da existência de uma base simplética.

Orientação

Uma forma bilinear alternada $\omega \in \textstyle {\bigwedge }^{2}(V)$ num espaço vetorial real $V$ de dimensão $n$ é não degenerada se e somente se $n$ é par e $\omega ^{n/2}=\omega \wedge \ldots \wedge \omega$ é uma forma de volume. Num espaço simplético $(V,\omega )$ com base simplética $x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots y_{n}$, $\omega ={x_{1}}^{\!\ast }\wedge {y_{1}}^{\!\ast }+{x_{2}}^{\!\ast }\wedge {y_{2}}^{\!\ast }+\ldots +{x_{n}}^{\!\ast }\wedge {y_{n}}^{\!\ast }$. Então

${\begin{aligned}\omega ^{n}=&\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{n})}{x_{i_{1}}}^{\!\ast }\wedge {y_{i_{1}}}^{\!\ast }\wedge {x_{i_{2}}}^{\!\ast }\wedge {y_{i_{2}}}^{\!\ast }\wedge \ldots \wedge {x_{i_{n}}}^{\!\ast }\wedge {y_{i_{n}}}^{\!\ast }\\=&\sum _{\sigma \in S_{n}}{x_{\sigma (1)}}^{\!\ast }\wedge {y_{\sigma (1)}}^{\!\ast }\wedge {x_{\sigma (2)}}^{\!\ast }\wedge {y_{\sigma (2)}}^{\!\ast }\wedge \ldots \wedge {x_{\sigma (n)}}^{\!\ast }\wedge {y_{\sigma (n)}}^{\!\ast }\\=&(n!)\cdot {x_{1}}^{\!\ast }\wedge {y_{1}}^{\!\ast }\wedge {x_{2}}^{\!\ast }\wedge {y_{2}}^{\!\ast }\ldots {x_{n}}^{\!\ast }\wedge {y_{n}}^{\!\ast }\\=&(n!)(-1)^{n(n-1)/2}{x_{1}}^{\!\ast }\wedge {x_{2}}^{\!\ast }\wedge \ldots \wedge {x_{n}}^{\!\ast }\wedge {y_{1}}^{\!\ast }\wedge {y_{2}}^{\!\ast }\wedge \ldots \wedge {y_{n}}^{\!\ast }.\end{aligned}}$

Logo $\omega ^{n}$ orienta $V$.

Variedades simpléticas

Seja $M$ uma variedade diferenciável. Uma $2$-forma $\omega \in \Omega ^{2}(M)$ será dita não degenerada quando o seguinte se verificar: se $X\in {\mathfrak {X}}(M)$ é um campo de vetores tal que $\omega (X,Y)=0$ para todo campo $Y\in {\mathfrak {X}}(M)$, então $X=0$. Isso é equivalente a exigir que $\omega _{p}\colon T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R}$ seja não degenerada para todo $p\in M$.

Uma variedade simplética é um par $(M,\omega )$, com $\omega \in \Omega ^{2}(M)$ uma $2$-forma não-degenerada e fechada: $d\omega =0$.

O fibrado cotangente

O fibrado cotangente $T^{\ast }M$ de uma variedade $M$ tem como fibra fixada em $p\in M$ o espaço dual $({T_{p}M})^{\ast }$. A projeção $T^{\ast }M\rightarrow M$ será denotada por $\pi$. Para um sistema local de coordenadas $(q^{1},\ldots ,q^{n})$ em $U\subset M$, as bases $\partial /\partial q^{i}$ para as fibras do fibrado tangente $TM$ sobre $U$ determinam bases duais para as fibras de $T^{\ast }M$ sobre $U$, que denotaremos por $p_{1},\ldots ,p_{n}$, de forma que para $\lambda \in \pi ^{-1}(U)\subset T^{\ast }M$ temos $p_{i}(\lambda )=\lambda (\partial /\partial q^{i})$. Em $T^{\ast }M$ temos então o sistema adaptado de coordenadas $(q^{1}\circ \pi ,\ldots ,q^{n}\circ \pi ,p_{1},\ldots ,p_{n})$, que será denotado por $({\overline {q}}^{1},\ldots ,{\overline {q}}^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})$.

A 1-forma tautológica

Podemos definir a função $\theta \colon T^{\ast }M\rightarrow T^{\ast }(T^{\ast }M)$ por $\theta _{(p,\lambda )}(X)=\lambda (\pi _{\ast }(X))$. Trata-se de uma $1$-forma em $T^{\ast }M$, chamada de forma tautológica. Num sistema adaptado $({\overline {q}}^{1},\ldots ,{\overline {q}}^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})$, $\theta$ se expressa como

$\theta \vert _{\pi ^{-1}(U)}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}d\,{\overline {q}}^{i}$.

A estrutura simplética canônica do fibrado cotangente

Se fizermos $\omega =d\theta \in \Omega ^{2}(T^{\ast }M)$, então $\omega$ é uma forma simplética em $T^{\ast }M$. Num sistema adaptado, $\textstyle {\omega =\sum dp_{i}\wedge d\,{\overline {q}}^{i}}$. Disso é consequência que $\omega$ é não degenerada. A variedade simplética $(T^{\ast }M,\omega )$ é orientada pela forma $\omega ^{n}$, como anteriormente.

A estrutura simplética canônica de um fibrado cotangente motiva o seguinte

Teorema (Darboux). Se $(M,\eta )$ é uma variedade simplética, em torno de cada ponto há um sistema simplético de coordenadas, isto é, uma carta local $(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})$ em que $\eta$ se expressa como $\textstyle \eta =\sum dp_{i}\wedge dq^{i}$.

Uma forma simplética dá, portanto, uma orientação.

Mecânica Hamiltoniana

Suponha que um sistema tenha a variedade diferenciável $M$ como espaço de configurações. No fibrado cotangente, com a estrutura simplética canônica, podemos considerar funções hamiltonianas, isto é, funções suaves $H\colon T^{\ast }M\rightarrow \mathbb {R}$. A definição de transformação canônica torna-se mais simples: trata-se de um difeomorfismo $\in \operatorname {Diff} (T^{\ast }M)$ que preserva, via pullback, a forma simplética canônica.

Por não-degenerescência, a uma função hamiltoniana podemos associar um campo de vetores $\mathbf {X} _{H}\in {\mathfrak {X}}(T^{\ast }M)$ da seguinte maneira: $i_{\mathbf {X} _{H}}(\omega )=-dH$ (contração). Isso permite definir colchetes de Poisson: se $f,g\colon T^{\ast }M\to \mathbb {R}$ são hamiltonianas, $\{f,g\}\colon T^{\ast }M\to \mathbb {R}$ é definida por $\{f,g\}(p)=\omega _{p}(\mathbf {X} _{f}(p),\mathbf {X} _{g}(p))$. Em coordenadas simpléticas, recuperamos as fórmulas clássicas. Note-se que a definição de Poisson se generaliza para variedades simpléticas quaisquer. Também se generalizam o Teorema dos Toros Invariantes e a existência de cartas locais (ou semi-locais, em vizinhanças de um toro invariante) do tipo ângulo-ação.

Classificação de $p$-grupos finitos extraespeciais

Um $p$-grupo ($p$ primo) finito $G$ é dito extraespecial quando $G^{\prime }=Z(G)$ e $\vert G^{\prime }\vert =\vert Z(G)\vert =p$. Exemplos de grupos extraespeciais são o grupo diedral de simetrias do quadrado, $D_{8}\cong \langle a,b\mid a^{4}=1,b^{2}=1,a^{b}=a^{-1}\rangle$ e o grupo quaterniônico $Q_{8}\cong \langle a,b\mid a^{4}=1,b^{2}=a^{2},a^{b}=a^{-1}\rangle$, ambos de ordem $8=2^{3}$. Esses dois grupos não são isomorfos. De fato, podemos definir o homomorfismo $\beta \colon Q_{8}\to \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$:

$a\mapsto {\begin{pmatrix}{\sqrt {-1}}&0\\0&-{\sqrt {-1}}\end{pmatrix}},\quad b\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.$

Temos $\operatorname {Ker} \beta =1$. Como $\operatorname {SL} (2,F)$ possui uma única involução, a saber $-I$, quando $F$ é um corpo de característica $\neq 2$, obtemos que $Q_{8}$ e $D_{8}$ não são isomorfos, já que $D_{8}$ possui mais de uma involução.

Seja $G$ um $p$-grupo finito extraespecial com $C=G^{\prime }=Z(G)$. O subgrupo $C$ é cíclico de ordem $p$; fixemos um gerador $c$. Se $x\in G,g\in G$, então $[x,g^{p}]=[x,g]^{p}$ (isso é verdade pois $G^{\prime }$ é central; use as fórmulas $[x,yz]=\ldots$ etc). Como $\vert C\vert =p$ , $[x,g^{p}]=1$, donde $g^{p}\in C$. Segue que $V=G/C$ é um $p$-grupo abeliano elementar que pode, portanto, ser visto como um espaço vetorial sobre o corpo $\operatorname {GF} (p)$ de $p$ elementos. Se $x\in G,y\in G$ o comutador $[x,y]$ depende apenas das classes $u={\overline {x}},v={\overline {y}}$ em $G/C$, então faz sentido escrever $[x,y]=c^{f(u,v)}$ para $f\colon V\times V\rightarrow \operatorname {GF} (p)$ bem-definida. Notando que $[xx_{1},y]=[x,y][x_{1},y]$ e $[x,x]=1$, temos que $f$ é uma forma bilinear alternada. Se $f(u,v)=0$ para todo $v\in V$, então $[x,y]=1$ para todo $y\in G$; isso significa que $u=0$, logo $(V,f)$ é um espaço simplético (de dimensão finita, obviamente). Considere agora uma decomposição simplética $V=V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{n}$, onde $V_{i}$ é bidimensional com base $\{u_{i},v_{i}\}$ de tal forma que $f(u_{i},v_{i})=1,f(u_{i},v_{j})=0$ se $i\neq j$ e $f(u_{i},u_{j})=f(v_{i},v_{j})=0$ para quaisquer $i,j$. Faça $u_{i}={\overline {x_{i}}},v_{i}={\overline {y_{i}}}$. Então $G_{i}=\langle x_{i},y_{i}\rangle$ contém $C$ pois $f(u_{i},v_{i})=1$, e é um grupo não-Abeliano de ordem $p^{3}$. Temos agora que $G=G_{1}G_{2}\ldots G_{n}$. Ademais, $G/C=(G_{1}/C)\times \ldots \times (G_{n}/C)$ e $[G_{i},G_{j}]=1$ se $i\neq j$. A ordem de $G$ é claramente $p^{2n+1}$.

Produtos centrais

Um grupo $G$ é dito ser o produto central dos subgrupos normais $G_{1},\ldots ,G_{n}$ quando $G=G_{1}\ldots G_{n}$, $[G_{i},G_{j}]=1$ para $i\neq j$ e $\textstyle {G_{i}\cap \prod _{j\neq i}G_{j}=Z(G)}$ para todo $i$ (já que $Z(G_{i})\leq Z(G)$ temos que $Z(G_{i})=Z(G)$). Intuitivamente, os centros estão sendo identificados.

Observação 1. Se $G$ é um produto central dos subgrupos normais $G_{1},\ldots ,G_{n}$, então $K=G_{i_{1}}G_{i_{2}}$ é um produto central dos subgrupos $G_{i_{1}},G_{i_{2}}\vartriangleleft K$. Além disso, se $K$ é um produto central dos subgrupos $K_{1},K_{2},\ldots ,K_{\ell }\vartriangleleft K$, então $G$ é um produto central dos $G_{j}$ ($j\neq i_{1}$, $j\neq i_{2}$), $K_{1},\ldots ,K_{\ell }$.

Observação 2. Da mesma forma que um produto semidireto interno dá origem a um produto semidireto externo, é possível construir externamente um produto central de dois grupos $G,H$ com centros isomorfos. Dado um isomorfismo $\theta \colon Z(G)\to Z(H)$, seja $N=\{(g^{-1},g^{\theta })\mid g\in Z(G)\}\vartriangleleft G\times H$. O grupo $(G\times H)/N$ é um produto central dos subgrupos $(G\times 1)N/N\cong G$ e $(1\times H)N/N\cong H$. Reciprocamente, se $L$ é um produto central interno dos subgrupos normais $G_{1},G_{2}$, então $L$ é isomorfo ao produto central externo de $G_{1}$ por $G_{2}$ segundo o isomorfismo idêntico $\mathrm {Id} \colon Z(G_{1})\to Z(G_{2})$.

Da discussão que precede os três parágrafos anteriores, temos a seguinte

Proposição. Um $p$-grupo extraespecial é um produto central de $n$ subgrupos não-Abelianos de ordem $p^{3}$ cada, tendo pois ordem $p^{2n+1}$. Um produto central de grupos não-Abelianos de ordem $p^{3}$ é um grupo extraespecial.

Não é difícil classificar grupos não-abelianos de ordem $p^{3}$, $p$ primo. Se $p=2$, ocorrem apenas os exemplos do início desta seção, $D_{8}$ e $Q_{8}$. Se $p$ é ímpar, as classes de isomorfismo dividem-se em duas, de acordo com a maior ordem possível para um elemento (o expoente do grupo): se o expoente for $p$, teremos um isomorfismo com $\langle x,y\mid x^{p}=1=y^{p},[x,y]^{x}=[x,y]=[x,y]^{y}\rangle$; se o expoente for $p^{2}$ ter-se-á um isomorfismo com $\langle x,y\mid x^{p^{2}}=1=y^{p},x^{y}=x^{1+p}\rangle$. Todos os grupos não-Abelianos de ordem $p^{3}$ são extraespeciais.

Proposição. Um grupo não-Abeliano de ordem $p^{3}$ e expoente $p^{2}$, para $p>2$, tem a apresentação mencionada.

Prova. Seja $x\in G$ de ordem $p^{2}$ e tome $w\in G$ tal que $\langle {\overline {x}},{\overline {w}}\rangle =G/Z(G)=G_{\mathrm {ab} }\cong Z_{p}\times Z_{p}$. Caso $w$ tenha ordem $p^{2}$, então $\langle x\rangle \cap \langle w\rangle$ tem ordem $p$; seja $x^{p}=w^{kp},p\nmid k$. Temos que $1\neq x^{-1}w^{k}$ tem ordem $p$ (aqui usamos a hipótese de que $p$ é ímpar junto com a fórmula ${(gh)}^{n}=g^{n}h^{n}{[h,g]}^{n(n-1)/2}$, que vale pois $G^{\prime }$ é central). Como $p\nmid k$ e $x^{-1}w^{k}$ tem ordem $p$, os subgrupos gerados por $x,x^{-1}w^{k}$ intersectam-se trivialmente, donde segue que $G=\langle x,x^{-1}w^{k}\rangle$ por comparação de número de elementos. Como $[x,x^{-1}w^{k}]\neq 1$ pois $G$ é não-Abeliano, segue que $\langle [x,x^{-1}w^{k}]\rangle =Z(G)=\langle x^{p}\rangle$, logo $[x,x^{-1}w^{k}]=x^{rp}$, $p\nmid r$. Então se $rr^{\ast }\equiv 1\,\,(\mathrm {mod} \,\,p)$, $x^{p}=[x,x^{-1}w^{k}]^{r^{\ast }}=[x,{(x^{-1}w^{k})}^{r^{\ast }}]$. Fazendo $y={(x^{-1}w^{k})}^{r^{\ast }}$, temos finalmente que $G=\langle x,y\rangle$ e $x^{p^{2}}=1=y^{p},x^{y}=x^{1+p}$, como queríamos. O caso em que $w$ já tem ordem $p$ é análogo.

Concretamente, o primeiro tipo de isomorfismo é representado pelo grupo de matrizes $\textstyle {{\Bigl \lbrace }\!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\mathbin {\Big \vert } \,a,b{\text{ e }}c{\text{ em }}\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} {\Bigr \rbrace }\leq \operatorname {GL} (3,p)}$ (se $p=2$ esse subgrupo de $\operatorname {GL} (3,2)$ é diedral), enquanto o segundo é representado pelo produto semidireto $A\ltimes Z_{p^{2}}$, com o grupo cíclico $Z_{p^{2}}$ operado canonicamente, por avaliação, pelo grupo $Z_{p}\cong A=\langle g\mapsto g^{p+1}\rangle \leq \operatorname {Aut} Z_{p^{2}}$ (note-se que ${(1+p)}^{p}\equiv 1\!\!\!\!{\pmod {p^{2}}}$ então esse gerador de $A$ tem de fato ordem $p$).

Agora seja $G$ um grupo extraespecial de ordem $p^{2n+1}$. Se $p=2$, afirmo que $G$ é um produto central de $n$ grupos $D_{8}$ ou um produto central de $n-1$grupos $D_{8}$ e apenas um $Q_{8}$. Isso porque o produto central $Q_{8}\circ Q_{8}$de dois grupos $Q_{8}$ é isomorfo ao produto central $D_{8}\circ D_{8}$. Usando as apresentações do início da seção, monte apresentações identificando os centros para $D_{8}\circ D_{8}\cong \langle a,b,c,d\mid \ldots \rangle$, $Q_{8}\circ Q_{8}\cong \langle x,y,z,w\mid \ldots \rangle$ e verifique que $\theta \colon a\to x,b\to yz,c\to z,d\to wx$ é um isomorfismo. (Note que a apresentação é obtida fazendo o quociente $(Q_{8}\times Q_{8})/\langle (x^{2},z^{-2})\rangle$, como na Observação 2)

Se $p>2$, então ou $G$ tem expoente $p$ ou $G$ é um produto central de grupos não abelianos de ordem $p^{3}$ e expoente $p$ e apenas um grupo não abeliano de ordem $p^{3}$ e expoente $p^{2}$. De fato, se $L$ e $H$ são grupos não-Abelianos de ordem $p^{3}$ com $L$ de expoente $p^{2}$ e $H$ de expoente $p$, temos que os produtos centrais $L\circ L$ e $H\circ L$ são isomorfos. Um isomorfismo $H\circ L\to L\circ L$ é definido por $\alpha \colon a\to c^{-1}x^{\ell },b\to y,c\to c^{k^{\ast }},d\to yd.$ É isomorfismo pois é sobrejetivo e ambos os grupos têm ordem $p^{5}$, ou note que a associação que se estende à inversa é $\alpha ^{-1}\colon x\to c^{k\ell ^{\ast }}\!a^{\ell ^{\ast }},y\to b,c\to c^{k},d\to b^{-1}d$. Aqui, $\langle a,b\mid \ldots \rangle \cong H$, $\langle c,d\mid \ldots \rangle \cong L\cong \langle x,y\mid \ldots \rangle$; em $H\circ L$, $[a,b]=c^{kp}$ e em $L\circ L$, $c^{p}=x^{\ell p}$, $0<k<p$, $0<\ell <p$, $kk^{\ast }\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,\,p^{2})$, $\ell \ell ^{\ast }\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,\,p^{2})$, além, claro, das relações de centralização e daquelas que caracterizam $H,L$ como representantes dos tipos de isomorfismo mencionados há pouco. Agora basta notar que todo elemento de um monoide no alfabeto $\{H,L\}$ em que são impostas apenas as relações $HL=LH$ de comutatividade e $LL=HL$ decorrente do isomorfismo, é da forma $HH\ldots H$ ou $HH\ldots HL$ (estamos usando implicitamente a Observação 1).

Os argumentos anteriores provam o seguinte

Teorema. Para cada $n=1,2,3,\ldots$ e para cada $p$ primo ímpar, existem duas classes de isomorfismo de grupos extraespeciais de ordem $p^{2n+1}$, de acordo com o expoente, $p$ ou $p^{2}$. A classe de expoente $p$ é representada por um produto central de $n$ grupos isomorfos a $H$; a outra, pelo produto central de um grupo isomorfo a $L$ e $n-1$ grupos isomorfos a $H$. É possível exibir apresentações para representantes de cada uma das duas classes.

Um resultado similar, como já vimos, vale para $p=2$.

Raciocínio inteiramente análogo mostra que um $p$-grupo finito em que o centro é cíclico e o subgrupo derivado tem ordem $p$ (grupos chamados de extraespeciais generalizados) possui a seguinte propriedade: $G^{\prime }\leq Z(G)$ e $G/Z(G)$ é um $p$-grupo abeliano elementar de posto par. Esses grupos podem ser expressados como produto central de grupos de dois tipos. Há duas classes de isomorfismo quando fixados $\vert G\vert$ e o índice $[G:Z]$ do centro. Isso permite exibir apresentações como anteriormente.