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A recíproca do seno é a [[cossecante]], e sua inversa é [[arco seno]].
== Aproximações ==
Para todo valor de <math display="inline">x</math> que pertença aos reais e esteja no intervalo <math display="inline">\left(0, \frac{\pi}{2}\right)</math>, vale:
Segue uma lista de funções, erros absolutos máximos, somatório dos erros absolutos e somatório dos erros quadráticos.
Os erros estão acompanhados das suas respectivas provas matemáticas e uma inequação que dá uma ideia das suas magnitudes.
=== Aproximação 0 ===
<math>f(x) = 0</math>
<math>f(x) \approx \sin(x)</math>
<math>E_{max} = 1</math>
<math>E_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |f(x)-sin(x)|dx</math>
<math>E_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin(x)dx</math>
<math>E_1 = 1</math>
<math>E_2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (f(x)-sin(x))^{2} dx</math>
<math>E_2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^{2}(x) dx</math>
<math>E_2 = \frac{\pi}{4}</math>
<math>\frac{1}{2} < \frac{\pi}{4} < \frac{1}{1}</math>
=== Aproximação 1 ===
<math>f(x) = 1</math>
<math>f(x) \approx \sin(x)</math>
<math>E_{max} = 1</math>
<math>E_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |f(x)-sin(x)|dx</math>
<math>E_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-sin(x))dx</math>
<math>E_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin(x) dx</math>
<math>E_1 = \frac{\pi}{2} - 1</math>
<math>\frac{1}{2} < \frac{\pi}{2}-1 < 1</math>
<math>E^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (f(x)-sin(x))^{2} dx</math>
<math>E^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-sin(x))^2 dx</math>
<math>E^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-2sin(x) + sin^2(x)) dx</math>
<math>E^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} dx - 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin(x)dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^2(x)dx</math>
<math>E^2 = \frac{\pi}{2} - 2 + \frac{\pi}{4}</math>
<math>E^2 = \frac{3\pi}{4} - 2</math>
<math>\frac{1}{3} < \frac{3\pi}{4}-2 < \frac{1}{2}</math>
=== Aproximação 2 ===
<math>f(x) = \frac{1}{2}</math>
<math>f(x) \approx \sin(x)</math>
<math>E_{max} = \frac{1}{2}</math>
<math>E_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |f(x)-sin(x)|dx</math>
<math>E_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \left(\frac{1}{2}-sin(x)\right)dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \left(sin(x) - \frac{1}{2}\right)dx</math>
<math>E_1 = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} sin(x) dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} sin(x) dx - \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} dx</math>
<math>E_1 = \frac{\pi}{12} - \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}</math>
<math>E_1 = -1 + \sqrt{3} - \frac{\pi}{12}</math>
<math>\frac{1}{3} < -1 + \sqrt{3} - \frac{\pi}{12} < \frac{1}{2}</math>
<math>E^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (f(x)-sin(x))^{2} dx</math>
<math>E^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1}{2}-sin(x)\right)^2 dx</math>
<math>E^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1}{4}-sin(x) + sin^2(x)\right) dx</math>
<math>E^2 = \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin(x)dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^2(x)dx</math>
<math>E^2 = \frac{\pi}{8} - 1 + \frac{\pi}{4}</math>
<math>E^2 = \frac{3\pi}{8} - 1</math>
<math>\frac{1}{6} < \frac{3\pi}{8}-1 < \frac{1}{5}</math>
=== Aproximação 3 ===
<math>f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}</math>
<math>f(x) \approx \sin(x)</math>
<math>E_{max} = \frac{\sqrt{2}}{2}</math>
<math>\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1</math>
<math>E_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |f(x)-sin(x)|dx</math>
<math>E_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}-sin(x)\right)dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \left(sin(x) - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)dx</math>
<math>E_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} sin(x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} sin(x) dx - \frac{\sqrt{2}}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} dx</math>
<math>E_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\pi}{4}</math>
<math>E_1 = -1 + \sqrt{2}</math>
<math>\frac{1}{3} < -1 + \sqrt{2} < \frac{1}{2}</math>
<math>E^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (f(x)-sin(x))^{2} dx</math>
<math>E^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}-sin(x)\right)^2 dx</math>
<math>E^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1}{2}-\sqrt{2} \cdot sin(x) + sin^2(x)\right) dx</math>
<math>E^2 = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} dx - \sqrt{2} \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin(x)dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^2(x)dx</math>
<math>E^2 = \frac{\pi}{4} - \sqrt{2} + \frac{\pi}{4}</math>
<math>E^2 = \frac{\pi}{2} - \sqrt{2}</math>
<math>\frac{1}{7} < \frac{\pi}{2}-\sqrt{2} < \frac{1}{6}</math>
== Inequações Inferiores ==
Para todo valor de <math display="inline">x</math> que pertença aos reais e esteja no intervalo <math display="inline">\left(0, \frac{\pi}{2}\right)</math>, vale:
=== Inequação 0 ===
<math>f(x) = 0</math>
<math>f(x) \leq sin(x)</math>
== Inequações Superiores ==
Para todo valor de <math display="inline">x</math> que pertença aos reais e esteja no intervalo <math display="inline">\left(0, \frac{\pi}{2}\right)</math>, vale:
=== Inequação 0 ===
<math>f(x) = 1</math>
<math>\sin(x) \leq f(x)</math>
== História do nome "seno" ==
Foi através dos [[árabes]] que a [[trigonometria]] baseada na meia [[Corda (geometria)|corda]] de uma [[circunferência]], que foi apresentada pelos [[hindu]]s, chegou à [[Europa]].
Os árabes haviam traduzido textos de trigonometria do [[sânscrito]]. Os hindus tinham dado o nome de ''jiva'' à metade da corda, e os árabes a transformaram em ''jiba''. Na [[língua árabe]] é comum escrever apenas as [[consoantes]] de uma palavra, deixando que o leitor acrescente mentalmente as [[vogal|vogais]]. Desse modo, os [[tradutor]]es árabes registraram ''jb''. Na sua tradução do árabe para o [[latim]], [[Robert de Chester]] interpretou ''jb'' como as consoantes da palavra ''jaib'', que significa "[[baía]]" ou "[[enseada]]", e escreveu ''sinus'', que é o equivalente em latim.<ref name="Maor">Maor, Eli, ''[http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/ Trigonometric Delights] {{Wayback|url=http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/ |date=20040404234808 }}'', Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.</ref> A partir daí, a jiba, ou meia corda hindu passou a ser chamada de ''sinus'', e, em [[língua portuguesa|português]], ''seno''.
{{referências|col=2}}
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