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Continuidade uniforme: diferenças entre revisões

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→‎Definição: e comparação com definição de função contínua em todos os pontos
→‎Definição: metrica e não norma
Linha 10:
Sejam <math>X\,</math> e <math>Y\,</math> [[espaço métrico|espaços métricos]] e <math>f:X\to Y\,</math> uma função. <math>f\,</math> é dita '''uniformemente contínua''' se para todo <math>\varepsilon>0\,</math> existe um <math>\delta>0\,</math> tal que:
 
:<math>d\left|(x-,y\right|)<\delta \Longrightarrow d\left|(f(x)-,f(y)\right|)<\varepsilon,~~\forall x,y\in X\,</math>
 
Ou seja, juntando tudo em uma única sentença matemática:
 
: <math>\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x, y \in X, (d\left|(x-,y\right|)<\delta \Longrightarrow d\left|(f(x)-,f(y)\right|)<\varepsilon)\,</math>
 
A definição mais fraca de uma função contínua em todos os pontos se escreve assim:
 
: <math>\forall x \in X, \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall y \in X, (d\left|(x-,y\right|)<\delta \Longrightarrow d\left|(f(x)-,f(y)\right|)<\varepsilon)\,</math>
 
Observa-se que para uma função ser contínua em todos os pontos, basta ser possível escolher um <math>\varepsilon\,</math> para ''cada'' ''<math>x''\,</math>, enquanto que a continuidade uniforme exige um <math>\varepsilon\,</math> global, para todo ''<math>x''\,</math>.
 
==Propriedades==
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