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Continuidade uniforme é um importante conceito matemático com numerosas aplicações sobretudo na análise real e na análise funcional.

Grosseiramente falando, uma função é dita contínua se suficientemente pequenas variações no domínio resultem em pequenas variações na imagem. Uma função é dita uniformemente contínua se "suficientemente pequeno" for independente do ponto inicial. Isto quer dizer que a partir de uma pequena variação da imagem podemos encontrar uma única variação do domínio que sirva para todos os pontos.

O conceito de continuidade uniforme é normalmente definido para funções entre dois espaços métricos, mas este conceito é muitas vezes generalizado para espaços vectoriais topológicos.

A continuidade uniforme é um conceito mais forte que o de continuidade e mais fraco que o de Lipschitz-continuidade (quando este se aplica).

DefiniçãoEditar

No livro An Elementary Course in Analytic Geometry, de 1808, John Henry Tanner e Joseph Allen definem função contínua real com o que, hoje, é a definição de função uniformemente contínua.[carece de fontes?] Segundo esta obra, uma função contínua seria uma função   que, quando a variável independente   passa por todos os valores reais entre   e  , o valor de   nunca se torna infinito e cobre todos valores entre   e  .[1] Esta definição é falsa.

Uma forma mais precisa desta definição é dizer que, para uma função real, definida para valores entre   e  , dados quaisquer valores   e   entre   e  , os valores de   e   devem ser finitos e deve ser possível achar para cada valor   um valor   [Nota 1] tal que sempre que  , tem-se que  .[Nota 2] Em outras palavras, sendo   uma função real definida em  , diremos que   é uniformemente contínua quando dado  , existe   tal que

 

Para a função   definida do espaço métrico   para o espaço métrico  ,   é dita uniformemente contínua se dado   existe um   tal que:

 

Ou seja, juntando tudo em uma única sentença matemática:

 

A definição mais fraca de uma função contínua em todos os pontos se escreve assim:

 

Observa-se que para uma função ser contínua em todos os pontos, basta ser possível escolher um   para cada  , enquanto que a continuidade uniforme exige um   global, para todo  .

Para dizer que uma função real   não é uniformemente contínua, basta mostrar que se dado  , seja qual for  , podemos encontrar   e   no domínio de   tal que

  mas  .

PropriedadesEditar

As propriedades e exemplos são baseados no livro Curso de Análise volume 1, de Elon Lages Lima.

  1. Se uma função real   definida em   é lipschitziana, então é uniformemente contínua. Sendo   lipschitziana com constante de lipschitz  , então para todo   e   em   tem-se  . Dado  , basta tomar   e então  
  2. Seja  função real definida em   e uniformemente contínua. Se   é uma sequência de Cauchy em  , então  é uma sequência de Cauchy. Como   é uniformemente contínua, dado  , existe  tal que  Sendo  de Cauchy, dado esse  , existe   tal que para todo  tem-se   Como   segue que para todo   temos  Logo  é de Cauchy.
  3. Se   é compacto, então toda função contínua definida em   é uniformemente contínua. Suponha por contradição que   é uma função definida em   e não é uniformemente contínua. Então existe  , tal que para cada  , podemos encontrar   e   tais que   mas  Como   é compacto, uma subsequência  converge para   Assim temos   Como   é contínua, segue que   o que contradiz   Logo   é uniformemente contínua.

ExemplosEditar

  1. A função  não é uniformemente contínua. Dado  , seja   escolhido. Tome um número positivo   tal que   e  . Então para   temos  , mas  .
  2. A função  , com  , é uniformemente contínua. Dado  , escolha  . Então qualquer que seja  temos,  .
  3. A função  é uniformemente contínua se   for limitado. De fato, se   para todo  , dados quaisquer   temos   Logo f é lipschitziana e pela propriedade 1 é uniformemente contínua.
  4. A função   não é uniformemente contínua. De fato, sendo   e   temos  , mas  
  5. A função   definida em  é contínua. Como   é compacto, pela propriedade 3,   é uniformemente contínua.

Notas e referências

Notas

  1. No texto de Tanner e Allen, em vez de δ, é utilizada a letra η.
  2. O texto de Tanner e Allen omite os símbolos de valor absoluto.

Referências

  1. John Henry Tanner e Joseph Allen, An Elementary Course in Analytic Geometry (1808), Part I, Chapter I, Introduction, Algebraic and Trigonometric Conceptions, 7. Continuous e discontinuous functions [google books]

[1]

  1. Lima, Elon Lages, Análise Real , vol. 1, 8ª. edição, Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2004