Matriz de cisalhamento

A Matriz de Cisalhamento ou Matriz de Corte é matematicamente uma matriz elementar que representa a adição do múltiplo de uma linha ou coluna para outra. Esta matriz pode ser derivada, tendo a Matriz identidade e a substituição de alguns elementos a zero com um ou mais valores diferentes de zero (λ).

Abaixo, uma típica matriz de cisalhamento:

$S={\begin{pmatrix}1&0&0&\lambda &0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.$

O nome Cisalhamento ou Corte refere-se ao fato da matriz representar uma transformação de cisalhamento. Geometricamente, tal transformação leva pares de pontos num espaço linear, que são axialmente separadas ao longo do eixo e cuja linha da matriz contém o elemento de corte, e substitui os pares de pontos cuja separação não é puramente axial, mas tem dois vetores componentes. Assim, o eixo de cisalhamento é sempre um autovetor de S.

Transformações no Plano

T : R2 → R2

Cisalhamento horizontal

T(x, y) = (x+λy, y)

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+\lambda \ y\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.$

Cisalhamento Vertical T(x, y) = (x, λx+y)

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\\lambda \ x+y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\\lambda \ &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.$

Exemplo de aplicação da Matriz de Cisalhamento em Resistência de Materiais, com os componentes do tensor tensão em uma base ortogonal.

Transformação em 3D

Um exemplo de utilização da matriz de cisalhamento em 3D é em Resistência dos Materiais no cálculo geral de Tensão normal e Tensão de cisalhamento.

$[T_{C}]_{xyz}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}$

Propriedades

Se S é uma matriz de cisalhamento n×n, então:

• S tem posto n e portanto é inversível.
• 1 é o único autovalor de S, então det S = 1 e consequentemente S = n.
• O autovetor de S tem dimensão n-1.
• S é assimétrica.
• S pode ser feita dentro de uma matriz em bloco pela operação de troca de uma linha por uma coluna.
• Area, Volume, ou qualquer outra medida de capacidade superior, ou Polígono de ordem superior, são invariantes frente a matriz de cisalhamento de vértices do Polígono.

Exemplo de Aplicação Prática

• Matrizes de Cisalhamento são geralmente usadas em computação gráfica.

A matriz de cisalhamento pode ser utilizada para transformar o volume de visão obtido através de uma projeção oblíqua em um paralelepípedo regular.

• Exemplo:

Considerando o vetor de projeção :$V_{p}=(p_{x},p_{y},p_{z})$, deve-se encontrar a matriz de cisalhamento que alinhe este vetor com o vetor normal ao plano de visão. Esta transformação é representada pela equação abaixo:

$V_{p}=V_{p}S'$

Onde S’ representa um cisalhamento no eixo z:

$S={\begin{pmatrix}1&0&\lambda _{1}&0&0\\0&1&\lambda _{2}&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.$

Para obter-se os parâmetros  :$\lambda _{1}e\lambda _{2}$ pode-se substituir S’ na equação anterior, obtendo as equações a seguir:

$0=p_{x}+\lambda _{1}p_{z}$

$0=p_{y}+\lambda _{2}p_{z}$

Resultando em:

$\lambda _{1}=-p_{x}/p_{z}$

$\lambda _{2}=-p_{y}/p_{z}$

Referências Bibliográficas

• Boulos, P. & Camargo, I. Geometria Analítica - Um Tratamento Vetorial . Ed. Mc Graw-Hill. 2005.
• Carvalho, P.C.P. Introdução à geometria espacial”. Coleção Professor de Matemática. SBM, 2005.
• CROCOMO, M. K. Computação Gráfica - Notas Didáticas – Viewing”. USP – Universidade de São Paulo. ICMC – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação. São Carlos. 2010.
• DOLCE, O. & POMPEO, J. N. Geometria Espacial”. Ed. Atual. 2005.
• Este artigo inclui texto do artigo Shear matrix^{[ligação inativa]} publicado com licença GNU em CFD online wiki.