Na teoria das categorias, a extensão de Kan trata do problema de aproximar um functor por outro functor definido em outra categoria. O conceito recebe o nome de Daniel Kan, que começou a estudar casos particulares em 1958.[1] Maiores aplicações da teoria de extensões de Kan surgiram na álgebra homológica, com o estudo de functores derivados.[2]

Definição

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Sejam functores F : CE e K : CD. Uma extensão de Kan esquerda de F ao longo de K é um functor LanK F : DE junto a um isomorfismo

Nat(LanK F, S) ≅ Nat(F, SK)

natural em S : DE. Noutras palavras, existe transformação natural η : F → LanK FK tal que, para qualquer functor S : DE e qualquer transformação natural γ : FSK, existe única transformação natural γ′ : LanK FS tal que γ = γKη.

Dualmente, uma extensão de Kan direita de F ao longo de K é um functor RanK F : DE junto a um isomorfismo

Nat(SK, F) ≅ Nat(S, RanK F)

natural em S : DE. Noutras palavras, existe transformação natural ε : RanK FKF tal que, para qualquer functor S : DE e qualquer transformação natural δ : SKF, existe única transformação natural δ′ : S → RanK F tal que δ = εδK.

Se todos os functores F : CE admitem extensão de Kan esquerda ao longo de K, o functor _ ∘ K : EDEC admite adjunto esquerdo LanK. Dualmente, se todos os functores F : CE admitem extensão de Kan direita ao longo de K, o functor _ ∘ K admite adjunto direito RanK.[3][4]

Exemplos

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  • Considere C = E = (ℤ, ≤), D = E = (ℝ, ≤), F : ℤ → ℤ como a identidade e K : ℤ → ℝ como a inclusão. (Toda pré-ordem pode ser considerada como uma categoria.) Então, a extensão de Kan esquerda de F ao longo de K é a função teto e a extensão de Kan direita de F ao longo de K é a função piso. Com efeito, se n ∈ ℤ e x ∈ ℝ, vale x⌉ ≤ n sse xn, e nx sse n ≤ ⌊x.[5]
  • Representações lineares de um grupo G são functores de B G (categoria de um objeto e morfismos correspondentes aos elementos de G) à categoria k-Vet dos espaços vetoriais sobre um corpo k. Toda representação linear de subgrupo HG admite extensão de Kan esquerda (chamada representação induzida) e extensão de Kan direita (chamada representação coinduzida), ao longo da inclusão B H → B G.[4]

Fórmula para extensões de Kan

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Dados functores F : CE e K : CD, tem-se fórmula para a extensão de Kan esquerda (desde que o colimite abaixo exista):   onde Kd denota uma categoria vírgula, e P : KdC projeção na primeira componente.[nota 1]

Dualmente, tem-se fórmula para a extensão de Kan direita (desde que o limite abaixo exista):[3][6]  

Alguns exemplos de aplicação da fórmula.

  • Sejam C = (ℚ, ≤), D = E = (ℝ, ≤), F : ℚ → ℝ a função q ↦ 2q, e K : ℚ → ℝ a inclusão. Então, as extensões de Kan esquerda e direita de F ao longo de K coincidem, porque, para cada d ∈ ℝ:[6]

 

  • Dada categoria pequena C, a categoria SetCop é a "cocompletação livre" de C. Isto é, sendo y : CSetCop a imersão de Yoneda, para cada categoria cocompleta E, para cada functor A : CE, existe functor L : SetCopE preservando colimites tal que Ly = A, dado pela fórmula: onde F denota a categoria de elementos de F : CopSet.[7]

Extensão de Kan pontual

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Sejam functores F : CE e K : CD. Um functor L : EE é dito preservar uma extensão de Kan esquerda (LanK F, η) quando (L ∘ LanK F, L η) é uma extensão de Kan esquerda de LF ao longo de K. Adjuntos esquerdos preservam todas as extensões de Kan esquerdas. Similarmente, adjuntos direitos preservam todas as extensões de Kan direitas.

Uma extensão de Kan direita (RanK F, ε) é dita ser pontual quando é preservada pelo functor representável hom(e, _) para cada eE. Já uma extensão de Kan esquerda (LanK F, η) é dita ser pontual quando ((LanK F)op, ηop) é extensão de Kan direita pontual (do functor Fop : CopEop ao longo do functor Kop : CopDop).

Uma extensão de Kan direita é pontual se e só se é dada pela fórmula em termos de limite da seção #Fórmula para extensões de Kan acima. Dualmente, uma extensão de Kan esquerda é pontual se e só se é dada pela fórmula em termos de colimite acima.[8][9]

Aplicações

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A seguir, algumas situações nas quais extensões de Kan são usadas.

  • Determinação de functores derivados em categorias homotópicas (que incluem os functores Ext e Tor).[10]
  • Identificação de functores (co)densos (a grosso modo, quando objetos são (co)limites de objetos de uma subcategoria dada).
  • Estudo de mônades de codensidade, que generalizam mônades induzidas por adjunções.[7]

Notas

  1. O lado direito é um functor em d, logo a ação de LanK F nos morfismos é dada. Também, a transformação natural η : F → LanK FK é definida a partir do cocone universal.

Referências

  1. (Riehl 2016, §6)
  2. (Mac Lane 1998, §X."Notes")
  3. a b (Mac Lane 1998, §X.3)
  4. a b (Riehl 2016, §6.1)
  5. (Riehl 2016, exemplo 4.1.7, proposição 6.5.2)
  6. a b (Riehl 2016, §6.2)
  7. a b (Riehl 2016, §6.5)
  8. (Mac Lane 1998, §X.5)
  9. (Riehl 2016, §6.3)
  10. (Riehl 2016, §6.4)

Bibliografia

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