Fórmula de Binet-Cauchy

Em matemática, e mais precisamente em álgebra linear, a fórmula de Cauchy-Binet é uma fórmula que generaliza o teorema de Binet. A fórmula é útil no cálculo do determinante do produto de duas matrizes em um caso mais geral que aquele considerado no teorema de Binet.

Enunciado

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Seja   um anel comutativo possuindo elemento multiplicativo idêntico, isto é, um anel comutativo com unidade. Sejam   e   matrizes em   e  , respectivamente. Se   denota o conjunto de  -tuplas estritamente crescentes com componentes em  , das quais há  , e se   é obtida de   quando selecionadas as colunas de acordo com  , e   é obtida de   selecionando linhas similarmente, então

 ,

se   e   caso contrário.

Se   está em  , escreveremos  ,  . Consideraremos um elemento de   como uma matriz em  . Se   é um inteiro positivo, escreveremos  .

A multilinearidade alternada de   para um anel comutativo com unidade será usada. Para ver por que   detém essa propriedade, dada uma função  , i.e. uma matriz em  , para a qual existem   com   e   para todo  , note que temos a partição do conjunto  . Daí, uma vez que toda permutação em   tem sinal  , temos

 .

Pela comutatividade de  ,

 ,

e uma vez que  ,  , a soma se reduz de fato a zero. Que   é multilinear é imediato.

Voltando à prova da fórmula de Cauchy-Binet:

Fixe   e defina a aplicação   por  . Faça   e  , de forma que  . Note que  . Vê-se que a aplicação   é multilinear alternada, logo

 .

Se  , haverá repetição em toda lista  ; tendo em vista a alternância de  , segue que  .

Se  , a soma se estende sobre o conjunto de todas as  -tuplas com entradas distintas. Nesse conjunto podemos declarar duas  -tuplas equivalentes quando uma puder ser obtida a partir da outra por meio de uma permutação das entradas de uma delas. Trata-se de uma relação de equivalência, que particiona portanto esse conjunto. Cada classe de equivalência intersecta   em um, e apenas um, elemento; os outros elementos de uma classe são obtidos a partir deste representante por meio de permutações das entradas, e toda permutação em   símbolos ocorre uma única vez, isto é, toda classe de equivalência está em bijeção com  . Se   e   estão relacionados por meio de uma permutação  , então por alternância de  , vale  . Essas observações nos levam a

 .

Mas

 ,

e como uma matriz quadrada e sua transposta têm o mesmo determinante, fica provada a fórmula. Que o determinante preserva produtos entre matrizes quadradas de mesma dimensão   é consequência imediata, pois em tal caso  , reduzindo a soma a   A fórmula também implica que para qualquer matriz  ,   com entradas em um anel comutativo com unidade,   é uma soma de quadrados; de fato, é a soma dos quadrados dos menores de   de ordem  .

Ligações externas

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Referências

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(em inglês) Joel G. Broida & S. Gill Williamson. A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, §4.6 Cauchy-Binet theorem, pp. 208–14, Addison-Wesley, 1989, ISBN 0-201-50065-5.

(em inglês) Shafarevich, Igor R., Remizov, Alexey O. Linear Algebra and Geometry, §2.9 (p. 68) & §10.5 (p. 377), Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9.

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