Seja um anel comutativo possuindo elemento multiplicativo idêntico, isto é, um anel comutativo com unidade. Sejam e matrizes em e , respectivamente. Se denota o conjunto de -tuplas estritamente crescentes com componentes em , das quais há , e se é obtida de quando selecionadas as colunas de acordo com , e é obtida de selecionando linhas similarmente, então
Se está em , escreveremos , . Consideraremos um elemento de como uma matriz em . Se é um inteiro positivo, escreveremos .
A multilinearidade alternada de para um anel comutativo com unidade será usada. Para ver por que detém essa propriedade, dada uma função , i.e. uma matriz em , para a qual existem com e para todo , note que temos a partição do conjunto . Daí, uma vez que toda permutação em tem sinal , temos
.
Pela comutatividade de ,
,
e uma vez que , , a soma se reduz de fato a zero. Que é multilinear é imediato.
Voltando à prova da fórmula de Cauchy-Binet:
Fixe e defina a aplicação por . Faça e , de forma que . Note que . Vê-se que a aplicação é multilinear alternada, logo
.
Se , haverá repetição em toda lista ; tendo em vista a alternância de , segue que .
Se , a soma se estende sobre o conjunto de todas as -tuplas com entradas distintas. Nesse conjunto podemos declarar duas -tuplas equivalentes quando uma puder ser obtida a partir da outra por meio de uma permutação das entradas de uma delas. Trata-se de uma relação de equivalência, que particiona portanto esse conjunto. Cada classe de equivalência intersecta em um, e apenas um, elemento; os outros elementos de uma classe são obtidos a partir deste representante por meio de permutações das entradas, e toda permutação em símbolos ocorre uma única vez, isto é, toda classe de equivalência está em bijeção com . Se e estão relacionados por meio de uma permutação , então por alternância de , vale . Essas observações nos levam a
.
Mas
,
e como uma matriz quadrada e sua transposta têm o mesmo determinante, fica provada a fórmula. Que o determinante preserva produtos entre matrizes quadradas de mesma dimensão é consequência imediata, pois em tal caso , reduzindo a soma a A fórmula também implica que para qualquer matriz , com entradas em um anel comutativo com unidade, é uma soma de quadrados; de fato, é a soma dos quadrados dos menores de de ordem .
(em inglês) Joel G. Broida & S. Gill Williamson. A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, §4.6 Cauchy-Binet theorem, pp. 208–14, Addison-Wesley, 1989, ISBN 0-201-50065-5.