Abrir menu principal

Wikipédia β

Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330).png

Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar; ela transforma essa matriz em um número real.[1] Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

Índice

DefiniçãoEditar

Seja   o conjunto das matrizes com   linhas e   colunas sobre um corpo   Pode-se provar que existe uma única função   com as seguintes propriedades:

  1.   é n-linear e alternada nas linhas das matrizes;
  2.   onde   é a matriz identidade.

Esta função   denomina-se de determinante.

O determinante de uma matriz   representa-se por   ou por   [Nota 1]

PropriedadesEditar

  1. O determinante da matriz identidade é um:[2]
        
  2. O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta:
        
  3. Se uma matriz quadrada é invertível então, o determinante da sua inversa é o inverso do seu determinante:
         Resulta desta propriedade ainda, que para matrizes invertíveis, verifica-se que  
  4. O determinante do produto de matrizes quadradas de mesma ordem é o produto dos determinantes (teorema de Binet):[3]
        
  5. O determinante da multiplicação de um escalar por uma matriz quadrada de ordem   resulta nesse escalar elevado a   vezes o determinante dessa matriz:
         onde   é a ordem da matriz  
  6. Se   é ortogonal, então
        
  7. Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
       Seja   uma matriz triangular de ordem   então  
  8. Se uma fila (linha ou coluna) da matriz   é composta de zeros, então  
  9. Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de   como soma de duas parcelas então   é a soma de dois determinantes de ordem   cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma das parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;
  10. Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz   por um escalar   então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de   multiplicado por  
  11. Se permutarmos duas linhas ou colunas de   então o determinante da nova matriz é  
  12. Se   tem duas linhas (ou colunas) iguais, então  
  13. Se somarmos a uma linha (ou coluna) de   um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de  

Determinante de uma matriz de ordem 1Editar

O determinante da matriz   de ordem   é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem   temos que o determinante é o número real  

 
Por exemplo:
 
então  

Determinante de matriz de ordem 2Editar

 
A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinate da matriz formada pelos vetores que representam seus lados.

O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.

 

Por exemplo, o determinante da matriz   é dado por:  

Determinante de matriz de terceira ordemEditar

 
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais.

Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta no seguinte cálculo:

 
  • Por exemplo:

 

 

 

 

Determinantes de ordem maior ou igual a 4Editar

Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem superior a 3 utiliza-se o teorema de Laplace, que estabelece o seguinte:

O determinante de uma matriz é igual à soma dos produtos dos elementos de qualquer linha ou coluna pelos respectivos complementos algébricos.(cofatores matriciais -- -- matrix cofactor)[4]

O complemento algébrico de um elemento   de uma matriz é o número   sendo   o determinante da matriz que se obtém eliminando da matriz original a linha i e a coluna j.

Na prática, isto equivale a reduzir o cálculo do determinante de uma matriz de ordem n ao cálculo de determinantes de matrizes de ordem n-1. O Teorema de Laplace pode ser aplicado as vezes que forem necessárias até obter matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais facilmente calculado através da regra de Sarrus.

A escolha da linha ou coluna da matriz a que se aplica este processo é indiferente, contudo, para maior simplicidade dos cálculos, convém escolher a linha ou coluna que contiver mais zeros.

Uma fórmula de somatório pode ser escrita como:

 

Onde n é o número de linhas da matriz, i é a posição em relação às linhas, j é a posição em relação às colunas, e   é o determinante da submatriz que exclui a linha i e a coluna j.

Note que esse somatório depende apenas de suas colunas em relação a uma linha escolhida, portanto, como mencionado acima, procure escolher a coluna que contenha a maior quantidade de zeros.

Exemplo com uma matriz 4x4Editar

Seja a matriz com 4 linhas e 4 colunas

 

Aplicando a fórmula mencionada acima, temos:

 

Desenvolvendo o determinante pela primeira linha obtemos:

 
onde Ai,−j representa a matriz obtida a partir de A, com a retirada da i-ésima linha e da j-ésima coluna.

 

Retorna-se ao cálculo de quatro determinantes de matrizes de terceira ordem. O cálculo é longo mas é fácil:

 

  

 

Caso geralEditar

Então definimos o determinante de ordem n desenvolvido pela i-ésima linha:

 
 

Matrizes por Editar

O determinante de uma matriz de tamanho arbitrário pode ser encontrado pela fórmula de Leibniz para determinante.

A fórmula de Leibniz para determinante de uma matriz A,   por   é

 

Cálculo de determinantes por triangularizaçãoEditar

Tendo em vista a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o seu termo principal (propriedade 5), a ideia é aplicar operações elementares sobre suas linhas, de modo a triangularizá-lo. Para isso devemos observar os efeitos que cada operação elementar pode ou não causar no valor do determinante procurado:

  • Permutar linhas troca o sinal do determinante (propriedade 11);
  • Multiplicar uma linha por um número real   não nulo, multiplica o determinante por   (propriedade 6);
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante (propriedade 9).

Para triangularizar um determinante basta atentar para as possíveis compensações provocadas pelas operações elementares utilizadas e não há uma única maneira de realizar esse processo. O método é algorítmico, constituído de passos simples: a cada coluna, da primeira à penultima, deve-se obter zeros nas posições abaixo da diagonal principal. Veja o exemplo a seguir:

 [5]

 
 
 
 
 
 
 
   

Ver tambémEditar

Notas e referências

Notas

  1. A notação   foi introduzida pela primeira vez por volta de 1841 pelo matemático inglês Arthur Cayley (MacTutor).

Referências

  1. Carlos Alberto Campagner. «Determinante». UOL - Educação. Consultado em 28 de junho de 2013. 
  2. Callioli 1990, p. 205
  3. Callioli 1990, p. 219
  4. Teorema de Laplace
  5. «Outros exemplos e métodos». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 18 de julho de 2018. 

BibliografiaEditar

  • Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual. ISBN 9788570562975 
  Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.