Em Geometria Diferencial, as fórmulas de Cartan relacionam a derivada de Lie ao longo de um campo vetorial, a derivada exterior e a contração.
Derivada de Lie e Contração
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Seja
X
{\displaystyle X}
um campo de vetores sobre uma variedade diferenciável. Seja
(
φ
t
)
t
{\displaystyle (\varphi ^{t})_{t}}
o fluxo (local) gerado por
X
{\displaystyle X}
. Recordemos que para uma forma diferencial
ω
{\displaystyle \omega }
, podemos definir a forma diferencial
L
X
ω
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega }
por
L
X
ω
=
lim
t
→
0
(
φ
t
)
∗
ω
−
ω
t
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =\lim _{t\to 0}{\frac {(\varphi ^{t})^{\ast }\omega -\omega }{t}}.}
Essa forma diferencial é chamada de derivada de Lie de
ω
{\displaystyle \omega }
ao longo de
X
{\displaystyle X}
. Temos as seguintes propriedades:
L
X
(
ω
∧
θ
)
=
(
L
X
ω
)
∧
θ
+
ω
∧
(
L
X
θ
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\omega \wedge \theta )=({\mathcal {L}}_{X}\omega )\wedge \theta +\omega \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\theta )}
L
X
(
d
θ
)
=
d
(
L
X
θ
)
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(d\theta )=d({\mathcal {L}}_{X}\theta ).}
Para
Y
{\displaystyle Y}
um campo vetorial, definimos o campo vetorial
L
X
Y
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}
por
L
X
Y
|
p
=
lim
t
→
0
φ
∗
−
t
Y
φ
t
(
p
)
−
Y
p
t
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y\vert _{p}=\lim _{t\to 0}{\frac {\varphi _{\ast }^{-t}Y_{\varphi ^{t}(p)}-Y_{p}}{t}}.}
Trata-se do colchete de Lie
L
X
Y
=
[
X
,
Y
]
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]}
. Recorde que
[
X
,
Y
]
(
f
)
=
X
(
Y
(
f
)
)
−
Y
(
X
(
f
)
)
{\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))}
. A equivalência entre essas duas definições do colchete de Lie pode ser provada localmente; é um bom exercício no uso da regra da cadeia.
Se
ω
∈
Ω
r
(
M
)
{\displaystyle \omega \in \Omega ^{r}(M)}
, a contração de
ω
{\displaystyle \omega }
por
X
{\displaystyle X}
é a
(
r
−
1
)
{\displaystyle (r-1)}
-forma dada por
i
X
ω
(
X
1
,
…
,
X
r
−
1
)
=
ω
(
X
,
X
1
,
…
,
X
r
−
1
)
{\displaystyle i_{X}\omega (X_{1},\ldots ,X_{r-1})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{r-1})}
. Denota-se também por
X
⌟
ω
{\displaystyle X\mathbin {\lrcorner } \omega }
. Temos a propriedade
i
X
(
ω
∧
θ
)
=
(
i
X
ω
)
∧
θ
+
(
−
1
)
r
ω
∧
(
i
X
θ
)
{\displaystyle i_{X}(\omega \wedge \theta )=(i_{X}\omega )\wedge \theta +{(-1)}^{r}\omega \wedge (i_{X}\theta )}
. É consequência da propriedade análoga do produto exterior .
As fórmulas mágicas de Cartan
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Fórmula de homotopia de Cartan
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A fórmula é
L
X
=
i
X
∘
d
+
d
∘
i
X
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=i_{X}\circ d+d\circ i_{X}}
. Para a prova, note que (i) ambos os membros são transformações lineares; (ii) a fórmula vale para funções suaves; (iii) a fórmula vale para 1-formas exatas, isto é, para diferenciais
d
f
{\displaystyle df}
; (iv) se a fórmula vale para
ω
{\displaystyle \omega }
e para
θ
{\displaystyle \theta }
, então vale para
ω
∧
θ
{\displaystyle \omega \wedge \theta }
. Localmente, toda forma pode ser expressada utilizando essas operações, logo a fórmula vale para toda forma diferencial.[ 1]
A segunda fórmula de Cartan é
i
[
X
,
Y
]
=
L
X
∘
i
Y
−
i
Y
∘
L
X
{\displaystyle i_{[X,Y]}={\mathcal {L}}_{X}\circ i_{Y}-i_{Y}\circ {\mathcal {L}}_{X}}
. Não é muito difícil ver que é uma consequência da igualdade
L
X
Y
=
[
X
,
Y
]
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]}
.
Definição invariante da derivada exterior
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Seja
ω
∈
Ω
1
(
M
)
{\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(M)}
e sejam
X
{\displaystyle X}
e
Y
{\displaystyle Y}
campos de vetores em
M
{\displaystyle M}
. Temos
L
X
∘
i
Y
=
d
∘
i
X
∘
i
Y
+
i
X
∘
d
∘
i
Y
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\circ i_{Y}=d\circ i_{X}\circ i_{Y}+i_{X}\circ d\circ i_{Y}}
,
i
Y
∘
L
X
=
i
Y
∘
i
X
∘
d
+
i
Y
∘
d
∘
i
X
{\displaystyle i_{Y}\circ {\mathcal {L}}_{X}=i_{Y}\circ i_{X}\circ d+i_{Y}\circ d\circ i_{X}}
; logo
i
[
X
,
Y
]
=
d
∘
i
X
∘
i
Y
+
i
X
∘
d
∘
i
Y
−
i
Y
∘
i
X
∘
d
−
i
Y
∘
d
∘
i
X
{\displaystyle i_{[X,Y]}=d\circ i_{X}\circ i_{Y}+i_{X}\circ d\circ i_{Y}-i_{Y}\circ i_{X}\circ d-i_{Y}\circ d\circ i_{X}}
, então
ω
(
[
X
,
Y
]
)
=
X
(
ω
(
Y
)
)
−
d
ω
(
X
,
Y
)
−
Y
(
ω
(
X
)
)
{\displaystyle \omega ([X,Y])=X(\omega (Y))-d\omega (X,Y)-Y(\omega (X))}
, ou, equivalentemente,
d
ω
(
X
,
Y
)
=
X
(
ω
(
Y
)
)
−
Y
(
ω
(
X
)
)
−
ω
(
[
X
,
Y
]
)
.
{\displaystyle \mathrm {d} \omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y]).}
Com um pouco mais de trabalho, chegamos à fórmula
d
ω
(
X
1
,
…
,
X
k
+
1
)
=
∑
1
≤
i
≤
k
+
1
(
−
1
)
i
−
1
X
i
(
ω
(
X
1
,
…
,
X
i
^
,
…
,
X
k
+
1
)
)
+
∑
1
≤
i
<
j
≤
k
+
1
(
−
1
)
i
+
j
ω
(
[
X
i
,
X
j
]
,
X
1
,
…
,
X
i
^
,
…
,
X
j
^
,
…
,
X
k
+
1
)
,
{\displaystyle \mathrm {d} \omega (X_{1},\ldots ,X_{k+1})=\sum _{1\leq i\leq k+1}\left(-1\right)^{i-1}X_{i}{\bigl (}\omega (X_{1},\ldots ,{\widehat {X_{i}}},\ldots ,X_{k+1}){\bigr )}+\sum _{1\leq i<j\leq k+1}\left(-1\right)^{i+j}\omega {\bigl (}[X_{i},X_{j}],X_{1},\ldots ,{\widehat {X_{i}}},\ldots ,{\widehat {X_{j}}},\ldots ,X_{k+1}{\bigr )},}
que pode ser usada para definir a derivada exterior, sem menção a sistemas locais de coordenadas.
Considere uma variedade simplética
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
e o parêntese de Poisson associado
{
⋅
,
⋅
}
:
C
∞
(
M
)
×
C
∞
(
M
)
→
C
∞
(
M
)
.
{\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}\,\colon C^{\infty }(M)\times C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M).}
Sejam
X
f
{\displaystyle \mathbf {X} _{f}}
e
X
g
{\displaystyle \mathbf {X} _{g}}
os campos Hamiltonianos associados às hamiltonianas
f
,
g
{\displaystyle f,g}
, isto é,
i
X
f
ω
=
−
d
f
,
i
X
g
ω
=
−
d
g
{\displaystyle i_{\mathbf {X} _{f}}\omega =-df,i_{\mathbf {X} _{g}}\omega =-dg}
. Pelas duas fórmulas mágicas de Cartan,
i
[
X
f
,
X
g
]
ω
=
L
X
f
(
i
X
g
ω
)
−
i
X
g
(
L
X
f
ω
)
=
i
X
f
(
d
(
−
d
g
)
⏟
=
0
)
+
d
(
i
X
f
(
i
X
g
ω
)
)
−
i
X
g
(
i
X
f
d
ω
⏟
=
0
)
−
i
X
g
(
d
(
−
d
f
)
)
=
d
(
i
X
f
i
X
g
ω
)
=
−
d
{
f
,
g
}
.
{\displaystyle {\begin{aligned}i_{[\mathbf {X} _{f},\mathbf {X} _{g}]}\omega &={\mathcal {L}}_{\mathbf {X} _{f}}(i_{\mathbf {X} _{g}}\omega )-i_{\mathbf {X} _{g}}({\mathcal {L}}_{\mathbf {X} _{f}}\omega )\\&=i_{\mathbf {X} _{f}}(\underbrace {d(-dg)} _{=0})+d(i_{\mathbf {X} _{f}}(i_{\mathbf {X} _{g}}\omega ))-i_{\mathbf {X} _{g}}(i_{\mathbf {X} _{f}}\underbrace {d\omega } _{=0})-i_{\mathbf {X} _{g}}(d(-df))\\&=d(i_{\mathbf {X} _{f}}i_{\mathbf {X} _{g}}\omega )\\&=-d\{f,g\}.\end{aligned}}}
Portanto,
[
X
f
,
X
g
]
=
X
{
f
,
g
}
{\displaystyle [\mathbf {X} _{f},\mathbf {X} _{g}]=\mathbf {X} _{\{f,g\}}}
. Daí,
X
f
(
X
g
(
h
)
)
−
X
g
(
X
f
(
h
)
)
=
X
{
f
,
g
}
(
h
)
{\displaystyle \mathbf {X} _{f}(\mathbf {X} _{g}(h))-\mathbf {X} _{g}(\mathbf {X} _{f}(h))=\mathbf {X} _{\{f,g\}}(h)}
; logo
{
f
,
{
g
,
h
}
}
−
{
g
,
{
f
,
h
}
}
=
{
{
f
,
g
}
,
h
}
{\displaystyle \{f,\{g,h\}\}-\{g,\{f,h\}\}=\{\{f,g\},h\}}
. Equivalentemente,
{
f
,
{
g
,
h
}
}
+
{
g
,
{
h
,
f
}
}
+
{
h
,
{
f
,
g
}
}
=
0
{\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}
. Trata-se da identidade de Jacobi , que imediatamente nos dá o
Teorema de Poisson-Jacobi . Se
f
{\displaystyle f}
e
g
{\displaystyle g}
são integrais de movimento, também o é
{
f
,
g
}
{\displaystyle \{f,g\}}
.
↑ Spivak, Michael D. (2010). Physics for Mathematicians: Mechanics I . Houston, TX: Publish or Perish