Fórmula de Cartan

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Em Geometria Diferencial, as fórmulas de Cartan relacionam a derivada de Lie ao longo de um campo vetorial, a derivada exterior e a contração.

Derivada de Lie e ContraçãoEditar

Seja   um campo de vetores sobre uma variedade diferenciável. Seja   o fluxo (local) gerado por  . Recordemos que para uma forma diferencial  , podemos definir a forma diferencial   por

 

Essa forma diferencial é chamada de derivada de Lie de   ao longo de  . Temos as seguintes propriedades:

 

 

Para   um campo vetorial, definimos o campo vetorial   por

 

Trata-se do colchete de Lie  . Recorde que  . A equivalência entre essas duas definições do colchete de Lie pode ser provada localmente; é um bom exercício no uso da regra da cadeia.

Se  , a contração de   por   é a  -forma dada por  . Denota-se também por  . Temos a propriedade

 . É consequência da propriedade análoga do produto exterior.

As fórmulas mágicas de CartanEditar

Fórmula de homotopia de CartanEditar

A fórmula é  . Para a prova, note que (i) ambos os membros são transformações lineares; (ii) a fórmula vale para funções suaves; (iii) a fórmula vale para 1-formas exatas, isto é, para diferenciais  ; (iv) se a fórmula vale para   e para  , então vale para  . Localmente, toda forma pode ser expressada utilizando essas operações, logo a fórmula vale para toda forma diferencial.[1]

Segunda fórmula mágicaEditar

A segunda fórmula de Cartan é  . Não é muito difícil ver que é uma consequência da igualdade  .

Definição invariante da derivada exteriorEditar

Seja   e sejam   e   campos de vetores em  . Temos  ,  ; logo  , então  , ou, equivalentemente,

 

Com um pouco mais de trabalho, chegamos à fórmula

 

que pode ser usada para definir a derivada exterior, sem menção a sistemas locais de coordenadas.

Parênteses de PoissonEditar

Considere uma variedade simplética   e o parêntese de Poisson associado   Sejam   e   os campos Hamiltonianos associados às hamiltonianas  , isto é,  . Pelas duas fórmulas mágicas de Cartan,

 

Portanto,  . Daí,  ; logo  . Equivalentemente,  . Trata-se da identidade de Jacobi, que imediatamente nos dá o

Teorema de Poisson-Jacobi. Se   e   são integrais de movimento, também o é  .

ReferênciasEditar

  1. Spivak, Michael D. (2010). Physics for Mathematicians: Mechanics I. Houston, TX: Publish or Perish