Produto exterior (cunha)

antissimetrização (alternação) do produto tensorial

Em matemática, o produto exterior, também conhecido como produto cunha, é uma antissimetrização (alternação) do produto tensorial. O produto exterior é uma multiplicação associativa e distributiva de funções multilineares antissimétrica que seja anticomutativo para as funções com número ímpar de variáveis e comutativo de outra maneira. A teoria sistemática inicia na construção da potência exterior para um espaço vetorial.

Embaralhamentos

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Se   são números naturais maiores que zero, um  -embaralhemento é uma permutação   tal que as restrições de   a cada bloco  ,  , são crescentes, isto é,  . É claro que  . Considere o subgrupo   consistindo daquelas permutações que estabilizam os conjuntos  . Claramente,  . O conjunto de  -embaralhementos será denotado por   (shuffles). Temos uma associação de   em  , o espaço de classes   dada pela restrição da sobrejeção canônica. Trata-se de uma bijeção. Em outras palavras,   é uma transversal para   em  . Em particular,   tem   elementos.

Note que podemos considerar  . Feita essa identificação, temos uma bijeção   dada por  . Note que de fato a imagem está contida em  . Essa associação é injetiva. Por comparação de número de elementos, é uma bijeção.

O produto exterior

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Fixe um espaço vetorial sobre um corpo qualquer (até mesmo de característica positiva). Recorde que uma  -forma alternada em   é uma função multilinear alternada  . Multilinear significa linearidade em cada argumento; dizer que é uma função alternada é o mesmo que dizer que é nula a imagem de qualquer  -tupla em que ocorre um par consecutivo de entradas iguais. Equivalentemente, temos a

Proposição. Uma função  -linear é alternada se, e somente se, é nula a imagem de qualquer  -tupla em que ocorram pelo menos duas entradas iguais.

Uma direção é óbvia. Devemos mostrar que se for nula a imagem de qualquer  -tupla em que ocorra um par consecutivo de entradas iguais, então será nula a imagem de qualquer  -tupla em que ocorram pelo menos duas entradas iguais. Seja   uma forma  -linear que satisfaz a hipótese. Se  , definimos a função multilinear   como  . Se   é uma transposição intercalando dois índices consecutivos, da hipótese segue que  . Vejamos por quê: faça  , fixe   e defina  . Temos que  ; já que   é multilinear,   é bilinear, logo  , donde  . Isso mostra que  . Note agora que  . Então se   e  , segue que  . Agora usamos o seguinte fato da teoria básica dos grupos simétricos:   é gerado por transposições que intercalam elementos consecutivos[1]. Com isso, temos que   para toda permutação  . Com uma transposição, deixamos adjacentes quaisquer dois índices; logo  , finalizando a prova.

Podemos agora definir:

(Produto exterior). Se   é uma  -forma alternada e   é uma  -forma alternada, então definimos a  -forma   por

 .

Vejamos por que   é uma  -forma alternada: sejam  ,  ,  , com  . Devemos provar que  . Particionaremos   em quatro partes (disjuntas):

 

 

 

 .

 .

A soma sobre   e a soma sobre   se anulam, tendo em vista a alternância de   e de  . Os conjuntos   e   estão em bijeção. Um vez que os índices são consecutivos, se  , então   e vice-versa. Logo podemos tomar a bijeção  . Segue daí que   é alternante.

O produto exterior é associativo; isso é consequência da bijeção mencionada na seção anterior,  .

Para elementos do dual de  ,  , por indução temos

 .

Como consequência, temos a seguinte

Proposição. Se   é base para  , então denotando por   a base dual correspondente, o conjunto dos  , com  , é base para o espaço das  -formas alternantes de  . Em particular, esse espaço tem dimensão  .

De fato, dada uma  -forma alternante  , temos, de maneira única,

 .

Fixado um vetor  , podemos definir a contração de uma forma  -linear   por  . Trata-se da forma  -linear   definida por  .

É evidente que   será alternada se   o for.

Proposição. Sejam   e   formas alternadas, com   uma  -forma. Vale a igualdade  .

Prova. Seja   uma  -forma alternada. Temos a seguinte bipartição:  , onde

 

 .

Note que   está em bijeção com   via  , onde   para  . Estenda   a todo o conjunto   fixando  . Temos  , logo  [2]. Analogamente,   está em bijeção com   via  , onde  . Note:  , donde  . (Para provar que são de fato bijeções, basta provar que são injetivas, pois  . Mas é óbvio que são injetivas). A proposição segue.

Proposição. Temos também  .

Já que   é uma bijeção  , onde   é definida por  . É fácil identificar os pares de inversão de  ; há   deles, portanto  .

O alternador

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Para corpos de característica zero, temos a transformação linear   que vai do espaço das formas  -lineares no espaço das  -formas alternantes sobre  . Definimos

 .

Se   é uma forma  -linear, definimos a forma  -linear   por  .

Se   é  -forma alternante e   é  -forma alternante, definimos

 .

Proposição. Temos  .

É consequência imediata do fato de que   é transversal para   em  .

Teoria Grassmann

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A teoria algébrica remonta a Hermann Grassmann. Seu método de construir as estruturas algébricas utilizou geradores e relações e não é manifestamente independente de uma base.

Referências

  1. Comece provando que transposições geram  . Basta mostrar que um ciclo pode ser expresso como um produto de transposições. Note então que  ; use indução.
  2. A sutileza com relação ao domínio de definição dos homomorfismos à esquerda e à direita do sinal de igualdade não é importante, uma vez que as inclusões canônicas, via estabilizadores,   são compatíveis com os respectivos homomorfismos  .
  • Bishop, R.; Goldberg, S.I. (1980), Tensor analysis on manifolds, Dover, ISBN 0-486-64039-6