Fórmula de Leibniz

A fórmula de Leibniz, em referência a Gottfried Wilhelm Leibniz, é uma fórmula usada para encontrar a derivada de uma integral da forma:$$\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\ dt,$$em que $a(x)$, $b(x)$ e $f(x,t)$ são funções dependentes de $x$. Adicionalmente, $a(x)$ e $b(x)$ devem ser funções deriváveis em $x$ com derivadas contínuas, enquanto $f(x,t)$ e sua derivada parcial em relação a $x$ também devem ser funções contínuas em $x$ e $t$.

Nessas condições a fórmula é expressa como:$${d \over dx}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\ dt\right)=f(x,b(x))\cdot {d \over dx}b(x)-f(x,a(x))\cdot {d \over dx}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\partial \over \partial x}f(x,t)\ dt$$em que na última integral faz-se uso de uma derivada parcial em ${\textstyle f(x,t)}$ com respeito a ${\textstyle x}$.

Escrevendo o lado direito da fórmula na notação de Lagrange tem-se:$${d \over dx}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\ dt\right)=f(x,b(x))\cdot b'(x)-f(x,a(x))\cdot a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}f_{x}(x,t)\ dt.$$No caso especial em que $a(x)$ e $b(x)$ são funções constantes (não dependem de $x$), ${\textstyle a(x)=a}$ e ${\textstyle b(x)=b}$, obtemos a relação:$${d \over dx}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\ dt\right)=\int _{a}^{b}{\partial \over \partial x}f(x,t)\ dt.$$Outro caso especial é dado quando ${\textstyle a(x)=a}$ e ${\textstyle b(x)=x}$, sendo útil na demonstração da fórmula de Cauchy para integrações repetidas utilizando o princípio de indução finita:$${d \over dx}\left(\int _{a}^{x}f(x,t)dt\right)=f(x,x)+\int _{a}^{x}{\partial \over \partial x}f(x,t)dt.$$

Exemplos

Exemplo 1

Para computar a integral de Dirichlet $\int _{0}^{\infty }{\frac {sen\ x}{x}}dx={\frac {\pi }{2}}$ , considere a seguinte função

$f(y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {sen\ x}{x}}\ e^{-xy}dx$

tal que, $f(0)$ é o valor procurado e sabe-se que $\lim _{y\to \infty }f(y)=0.$

$f'(y)=-\int _{0}^{\infty }sen\ x\ e^{-xy}dx$

integrando por partes duas vezes

$\int sen\ x\ e^{-xy}dx={\frac {-e^{-xy}(cos\ x+y\ sen\ x)}{1+y^{2}}}$

portanto

$f'(y)=-{\frac {1}{1+y^{2}}}$

integrando de 0 a infinito de ambos os lados

$\lim _{y\to \infty }f(y)-f(0)=-{\frac {\pi }{2}}$

$f(0)={\frac {\pi }{2}}$

Exemplo 2

Para computar a Integral Gaussiana $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}$ , reescreve a integral

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx+\int _{-\infty }^{0}e^{-x^{2}}dx$.

Sabendo que, se $f$ for uma função par (prova no final),

$\int _{0}^{a}f=\int _{-a}^{0}f$

e como $e^{-x^{2}}$ é par, a integral Gaussina pode ser escrita como

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx$.

Faça a seguinte notação$\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx=I$. Considere a seguinte função

$f(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}(1+y^{2})}}{1+y^{2}}}dy$

$f'(x)=-2xe^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-(xy)^{2}}dy$

fazendo $xy=u$

$f'(x)=-2e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-(u)^{2}}du=-2e^{-x^{2}}I$

integrando de 0 a infito de ambos os lados

$\lim _{x\to \infty }f(x)-f(0)=-2I\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx$

$-{\frac {\pi }{2}}=-2I^{2}$

$2I={\sqrt {\pi }}.$

Antes de provar que, para uma $f$ par, $\int _{0}^{a}f=\int _{-a}^{0}f.$ Considere a afirmação: Se $f$ for par, então $g$ é ímpar, tal que $\int f=g$. Prova:

Defina $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt$.

$F(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt=\int _{0}^{x}f(-t)dt$

fazendo $u=-t$

$F(x)=\int _{0}^{-x}f(u)du=F(-x).$