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A fórmula de Leibniz, em referência a Gottfried Wilhelm Leibniz, é uma fórmula que expressa a derivada de uma integral como a integral de uma derivada.

Explicitamente, seja uma função de x dada pela integral definida:

então para a derivada desta expressão é:

desde que e sejam ambas funções contínuas em uma região da forma

ExemplosEditar

Exemplo 1Editar

Para computar a integral de Dirichlet   , considere a seguinte função

 

tal que,   é o valor procurado e sabe-se que  

 

integrando por partes duas vezes

 

portanto

 

integrando de 0 a infinito de ambos os lados

 

 

Exemplo 2Editar

Para computar a Integral Gaussiana   , reescreve a integral

 .

Sabendo que, se   for uma função par (prova no final),

 

e como   é par, a integral Gaussina pode ser escrita como

 .

Faça a seguinte notação . Considere a seguinte função

 

 

fazendo  

 

integrando de 0 a infito de ambos os lados

 

 

 

Antes de provar que, para uma   par,   Considere a afirmação: Se   for par, então   é ímpar, tal que  . Prova:

Defina  .

 

fazendo  

 

Agora podemos provar que, para uma   par,  

Usando as propriedades de  , que é ímpar

 


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