Fórmula de interpolação de Brahmagupta

A fórmula de interpolação de Brahmagupta é uma fórmula de interpolação polinomial de segunda ordem desenvolvida prlo matemático e astrônomo indiano Brahmagupta (598–668 EC) no início do século VII EC. O dístico em sânscrito que descreve a fórmula pode ser encontrado na parte complementar do Khandakadyaka, um trabalho de Brahmagupta completado em 665 EC.^[1] O mesmo dístico aparece em Dhyana-graha-adhikara, um trabalho anterior de Brahmagupta mas de data incerta. No entanto evidências internas sugerem que Dhyana-graha-adhikara poderia ser datada de antes de Brahmasphuta-siddhanta, um trabalho de Brahmagupta composto em 628 CE. "Daí a invenção da fórmula de interpolação de segunda ordem por Brahmagupta deve ser colocada perto do início do segundo trimestre do século 7 dC, se não mais cedo."^[1] Brahmagupta foi o primeiro a inventar e usar um fórmula de interpolação usando diferenças de segunda ordem na história da matemática.^[2]^[3]

A fórmula de interpolação de Brahmagupa é equivalente à atual fórmula de interpolação de segunda ordem de Newton–Stirling.^[4]

Preliminares

Dado um conjunto de valores tabulados de uma função f(x), que sejam necessários para calcular o valor de f(x) a um dado valor de x, sigamos, x = a. Sejam os valores tabulados como na tabela abaixo e sejam x_r < a < x_r+1.

x	x₁	x₂	...	x_r	x_r+1	x_r+2	...	x_n
f(x_r)	f₁	f₂	...	f_r	f_r+1	f_r+2	...	f_n

Referências

↑ ^a ^b Gupta, R. C. «Second-order interpolation in Indian mathematics upto the fifteenth century». Indian Journal of History of Science. 4 (1 & 2): 86–98
↑ Van Brummelen, Glen (2009). The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry. [S.l.]: Princeton University Press. 329 páginas. ISBN 9780691129730 (p.111)
↑ Meijering, Erik (março de 2002). «A Chronology of Interpolation From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing». Proceedings of the IEEE. 90 (3): 319–342. doi:10.1109/5.993400
↑ Stirling's Finite Difference Formula - MathWorld

[Gupta-1] Gupta, R. C. «Second-order interpolation in Indian mathematics upto the fifteenth century». Indian Journal of History of Science. 4 (1 & 2): 86–98

[2] Van Brummelen, Glen (2009). The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry. [S.l.]: Princeton University Press. 329 páginas. ISBN 9780691129730 (p.111)

[3] Meijering, Erik (março de 2002). «A Chronology of Interpolation From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing». Proceedings of the IEEE. 90 (3): 319–342. doi:10.1109/5.993400

[4] Stirling's Finite Difference Formula - MathWorld

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