Fator automórfico

Em matemática, um fator automórfico é um certo tipo de função analítica, definida sobre subgrupos de SL2(R), aparecendo na teoria de formas modulares. O caso geral, para grupos gerais, é apresentado no artigo 'fator de automorfia'.

DefiniçãoEditar

Um fator automórfico de peso k é uma função

 

satisfazendo as quatro propriedades dadas abaixo. Aqui, a notação   e   refere-se ao meio plano superior e ao plano complexo, respectivamente. A notação   é um subgrupo de SL(2,R), tal como, por exemplo, um grupo fuchsiano. Um elemento   é uma matriz 2x2

 

com   números reais, satisfazendo  .

Um fator automórfico deve satisfazer:

1. Para um determinado  , a função   é uma função holomorfa de  .
2. Para todo   e  , tem-se
 
para um determinado número real k.
3. Para todo   e  , tem-se
 
Aqui,   é a transformação de Möbius, ou transformação linear fracional de   por  .
4.Se  , então para todo   e  , tem-se
 
Aqui, I denota a matriz identidade.

PropriedadesEditar

Cada fator automórfico pode ser escrito como

 

com

 

A função   é chamada um sistema multiplicador. Claramente,

 ,

enquanto, se  , então

 

DesenvolvimentosEditar

São estudados fatores automórficos de grau n de variedade complexa ou de uma superfície de Riemann compacta.[1]

ReferênciasEditar

  • Robert Rankin, Modular Forms and Functions, (1977) Cambridge University Press ISBN 0-521-21212-X. (O capítulo 3 é inteiramente dedicado a fatores automórficos para o grupo modular.)
  1. Malladi Sitaramayya; On automorphic factors of a compact Riemann surface; Annali di Matematica Pura ed Applicata; Volume 96, Number 1 / December, 1973; DOI 10.1007/BF02414836 (em inglês)