Função localmente integrável

Em matemática, uma função é dita localmente integrável em um subconjunto $E\,$ de seu domínio se for integrável em cada subconjunto pré-compacto de $E\,$. O espaço das funções localmente integráveis em $E\,$ é denotado por $L_{\mathrm {loc} }^{1}(E)\,$

Definição

Seja $f\colon D\to \mathbb {R} \,$ uma função mensurável. Dizemos que $f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(E)\,$ se $E\,$ é um subconjunto mensurável de $D\,$ e vale que:

• $\forall V\subseteq {\overline {V}}\subseteq E\,$ com ${\overline {V}}\,$ compacto então $f\in L^{1}(V)\,$

Esta definição pode ser generalizada para os espaços $L_{\mathrm {loc} }^{p}(V)\,$.

Propriedades

• Se $1\leq p<q\leq \infty \,$ então $L_{\mathrm {loc} }^{q}(E)\subseteq L_{\mathrm {loc} }^{p}(E)\subseteq L^{p}(E)\,$

Exemplo: Sendo $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ tal que $f(x)={\frac {1}{\sqrt {x}}}$ para $x\neq 0$ e $f(0)=0$, temos $f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} )$ e $f\not \in L_{\mathrm {loc} }^{2}(\mathbb {R} )$.