Função mensurável

Em matemática, sobretudo na teoria da medida, funções mensuráveis são aquelas que apresentam comportamento suficientemente simples para que se possa desenvolver uma teoria de integração.[1][2]

DefiniçãoEditar

Seja   uma função, onde   e   são espaços mensuráveis. Uma função é dita  -mensurável se

 ,

isto é, se a pré-imagem de todo conjunto  -mensurável é  -mensurável.

Função Borel mensurávelEditar

Um caso particular importante da definição acima acontece quando tomamos   como sendo a álgebra de Borel, neste caso (se a definirmos como a menor sigma-álgebra contendo a topologia), a seguinte definição é equivalente:

Seja   uma função, onde   é um espaço mensurável e   é um espaço topológico. Uma função é dita Borel- -mensurável se:

 

Função Borel-Lebesgue mensurávelEditar

Uma função é dita Borel-Lebesgue mensurável quando  , a σ-álgebra de Lebesgue e  , a álgebra de Borel.

Muitas vezes, uma função Borel-Lebesgue mensurável é dita apenas Lebesgue-mensurável ou simplesmente mensurável.

Função reais Borel-Lebesgue mensurávelEditar

É costume representar uma função   pelas suas componente no contra-domínio:

 

Pode-se mostrar que   é Borel-Lebesgue-mensurável se e somente se cada uma das   é Borel-Lebesgue-mensurável.

PropriedadesEditar

Sejam   e   funções Borel-Lebesgue-mensuráveis onde   é um conjunto mensurável de   e   e   reais então:

  •   é mensurável
  •   é mensurável
  •   é mensurável para todo  
  • Se   e   então   é mensurável.
  • Se   são mensuráveis e convergem quase-sempre então o limite é uma função mensurável.

Referências

Ver tambémEditar

O wikilivro Medida e integração tem uma página intitulada Mensurabilidade