Seja
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y\,}
(
X
,
M
)
{\displaystyle (X,{\mathfrak {M}})\,}
(
Y
,
N
)
{\displaystyle (Y,{\mathfrak {N}})\,}
espaços mensuráveis . Uma função é dita
(
N
,
M
)
{\displaystyle ({\mathfrak {N}},{\mathfrak {M}})}
f
−
1
(
E
)
∈
M
,
∀
E
∈
N
{\displaystyle f^{-1}(E)\in {\mathfrak {M}},~~\forall E\in {\mathfrak {N}}\,}
isto é, se a pré-imagem de todo conjunto
N
{\displaystyle {\mathfrak {N}}}
M
{\displaystyle {\mathfrak {M}}}
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Um caso particular importante da definição acima acontece quando tomamos
N
{\displaystyle {\mathfrak {N}}\,}
álgebra de Borel , neste caso (se a definirmos como a menor sigma-álgebra contendo a topologia), a seguinte definição é equivalente:
Seja
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y\,}
(
X
,
M
)
{\displaystyle (X,{\mathfrak {M}})\,}
espaço mensurável e
(
Y
,
τ
)
{\displaystyle (Y,\tau )\,}
espaço topológico . Uma função é dita Borel-
M
{\displaystyle {\mathfrak {M}}\,}
se:
f
−
1
(
O
)
∈
M
,
∀
O
∈
τ
{\displaystyle f^{-1}(O)\in {\mathfrak {M}},~~\forall O\in \tau \,}
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Uma função é dita Borel-Lebesgue mensurável quando
M
=
L
{\displaystyle {\mathfrak {M}}={\mathfrak {L}}\,}
σ-álgebra de Lebesgue e
N
=
B
{\displaystyle {\mathfrak {N}}={\mathfrak {B}}\,}
Muitas vezes, uma função Borel-Lebesgue mensurável é dita apenas Lebesgue-mensurável ou simplesmente mensurável .
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É costume representar uma função
f
:
D
→
R
n
{\displaystyle f:D\to \mathbb {R} ^{n}\,}
f
(
x
)
=
(
f
1
(
x
)
,
f
2
(
x
)
,
…
,
f
n
(
x
)
)
{\displaystyle f(x)=\left(f^{1}(x),f^{2}(x),\ldots ,f^{n}(x)\right)\,}
Pode-se mostrar que
f
:
D
→
R
n
{\displaystyle f:D\to \mathbb {R} ^{n}\,}
se e somente se cada uma das
f
k
:
D
→
R
{\displaystyle f^{k}:D\to \mathbb {R} \,}
Sejam
f
:
D
→
R
n
{\displaystyle f:D\to \mathbb {R} ^{n}\,}
g
:
D
→
R
n
{\displaystyle g:D\to \mathbb {R} ^{n}\,}
D
{\displaystyle D\,}
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\,}
α
{\displaystyle \alpha \,}
β
{\displaystyle \beta \,}
α
f
(
x
)
+
β
g
(
x
)
{\displaystyle \alpha f(x)+\beta g(x)\,}
f
(
x
)
g
(
x
)
:=
(
f
1
(
x
)
g
1
(
x
)
,
f
2
(
x
)
g
2
(
x
)
,
…
f
n
(
x
)
g
n
(
x
)
)
{\displaystyle f(x)g(x):=\left(f^{1}(x)g^{1}(x),f^{2}(x)g^{2}(x),\ldots f^{n}(x)g^{n}(x)\right)\,}
f
(
x
+
λ
)
{\displaystyle f(x+\lambda )\,}
λ
∈
R
m
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{m}}
Se
h
:
D
→
R
n
{\displaystyle h:D\to \mathbb {R} ^{n}\,}
μ
(
{
f
(
x
)
=
h
(
x
)
}
)
{\displaystyle \mu \left(\left\{f(x)=h(x)\right\}\right)\,}
h
{\displaystyle h\,}
Se
f
n
:
D
→
R
{\displaystyle f_{n}:D\to \mathbb {R} \,}
convergem quase-sempre então o limite é uma função mensurável.
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