Gradiente inclinado

Na matemática, um gradiente inclinado de uma função harmônica sobre um domínio simplesmente conectado com duas dimensões reais é um campo vetorial ortogonal em todo lugar ao gradiente da função e que tem a mesma magnitude que o gradiente.

Definição

O gradiente de inclinação pode ser definido usando análises complexas e as equações de Cauchy-Riemann .

Deixei $f(z(x,y))=u(x,y)+iv(x,y)$ ser uma função analítica de valor complexo, em que ${\textstyle u,v}$ são funções escalares de valor real das variáveis reais   $x,y$.

Um gradiente de inclinação é definido como:

$$\nabla ^{\perp }u(x,y)=\nabla v(x,y)$$

e das equações de Cauchy-Riemann, é possível deduzir que

$$\nabla ^{\perp }u(x,y)=\left(-{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)$$

Propriedades

O gradiente de inclinação tem duas propriedades interessantes. Está em toda parte ortogonal ao gradiente de $u$ e com o mesmo comprimento:

$$\nabla u(x,y)\cdot \nabla ^{\perp }u(x,y)=0,\rVert \nabla u\rVert =\rVert \nabla ^{\perp }u\rVert$$