Integral Fracionária

Integral fracionária é uma integral de ordem não-inteira.

Motivação

Nas últimas décadas, o estudo de operadores de ordem não inteira tem ganhado muita relevância e diversas definições para integrais e derivadas de ordem arbitrária foram propostas, dentre as quais podemos destacar as definições de integral e derivada fracionária de Riemann-Liouville, derivada fracionária de Grünwald-Letnikov, derivada de Caputo, entre outras .

As integrais e derivadas de ordem não inteira possuem uma vasta gama de aplicações, nas mais diversas áreas do conhecimento, como física, química, biomatemática, engenharia, economia, entre outros.

A integral de ordem arbitrária , em outros aspectos, é fundamental para a formalização da definição de derivada fracionária, que é um dos assuntos mais importantes do Cálculo Fracionário.

Calcular a integral fracionária de uma função significa que tal função será integrada um número finito, $n$, de vezes, em que $n$ pode ser um número real ou um número complexo.

Operador Integral de ordem $n$

Sendo $f(t):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,$ uma função integrável, definimos o "operador integral" $I$ , agindo sobre $f(t)$, como

$If(t)\;=\;\int _{0}^{t}f(t_{1})dt_{1}$

$I^{2}f(t)\;=\;I[If(t)]\;=\;\int _{0}^{t}\int _{0}^{t_{1}}f(t_{2})dt_{2}dt_{1}$

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$I^{n}f(t)\;=\;\int _{0}^{t}\int _{0}^{t_{1}}...\int _{0}^{t_{n-1}}f(t_{n})dt_{n}dt_{n-1}...dt_{2}dt_{1}$.

Integral fracionária segundo Riemann -Liouville

A integral fracionária segundo Riemann-Liouville de ordem $\nu$ de uma função integrável $f:[0,\infty [\rightarrow R$, denotada por $I^{\nu }$ é definida como

$I^{\nu }f(t)\;=\;{\frac {1}{\Gamma (\nu )}}\int _{0}^{t}(t-\tau )^{\nu -1}f(\tau )d\tau$,

no qual $\Gamma (\nu )$ denota a função Gama de $\nu$.

Embora essa definição seja absolutamente rigorosa do ponto de vista algébrico, a interpretação física e geométrica deste operador ainda não está clara.

Exemplo 1

A integral de de ordem $\nu$ de $t^{n}$, em que $n\in \mathbb {N}$, é ${\frac {\Gamma (n+1)t^{\nu +n}}{\Gamma (\nu +n+1)}}$.

De fato, podemos escrever

$I^{\nu }t^{n}\;=\;{\frac {1}{\Gamma (\nu )}}\int _{0}^{t}(t-\tau )^{\nu -1}\tau ^{n}d\tau$

Tomando $u\;=\;{\frac {\tau }{t}}$, temos

$I^{\nu }t^{n}\;=\;{\frac {t^{\nu -1}}{\Gamma (\nu )}}\int _{0}^{1}(1-u)^{\nu -1}(ut)^{n}tdu$

$I^{\nu }t^{n}\;=\;{\frac {t^{\nu +n}}{\Gamma (\nu )}}\int _{0}^{1}(1-u)^{\nu -1}u^{n}du$

no qual o termo $\int _{0}^{1}(1-u)^{\nu -1}u^{n}du$ é a função Beta.

Com isso usando a relação entre função Gama e função Beta, concluí-se que

$I^{n}t^{\nu }\;=\;{\frac {\Gamma (n+1)t^{\nu +n}}{\Gamma (\nu +n+1)}}$.

Em particular, temos $I^{\frac {1}{2}}t^{2}\;=\;{\frac {2}{{\frac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}}}t^{\frac {5}{2}}$.

Exemplo 2

$I^{\alpha }(t-a)^{\beta -1}\;=\;{\frac {\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}(t-a)^{\beta +\alpha -1}$

Propriedades

Produto de Convolução

O operador integral de ordem $n$ pode ser visto como um produto de convolução entre a Função de Gel'fand Shilov e a função $f(t)$, ou seja,

$I^{n}f(t)\;=\;\phi _{n}(t)*f(t)$

em que * denota a convolução de Laplace e $\phi _{n}$ é a Função de Gel'fand Shilov.

Lei dos Expoentes

Sejam $\alpha >0$ e $\beta >0$, para as integrais fracionárias é válida a lei dos expoentes, ou seja, $I^{\alpha }[I^{\beta }f(t)]\;=\;I^{\alpha +\beta }f(t)\;=\;I^{\beta }[I^{\alpha }f(t)]$.