Lema de Jordan

O Lema de Jordan em conjunto com o teorema dos resíduos, é utilizado para calcular integrais no plano complexo. É denominado em memória de Camille Jordan.

Definições

Definição 1

Sejam C_R uma semicircunferência de raio R no semiplano superior e centrada na origem e f(z) uma função que, para arg(z)∈[o,π], converge uniformemente a zero mais rápido que ${\frac {1}{|z|}}$ quando |z|→$\infty$, ou seja, $C_{R}=\{z:z=Re^{i\theta },\theta \in [0,\pi ]\}$

O caminho C é a concatenação dos caminhos C ₁ e C ₂.

Definição 2

Consideremos a integral :$I_{R}=\int _{R}f(z)\ dz$, com Γ_R = {Z=Re^iθ, 0≤θ≤π} e α>0 e se a função f é da forma :$f(z)=e^{iaz}g(z)\,,\quad z\in C_{R},$ Suponhamos que f(z) seja analítica neste semi-plano exceto em um número finito de pontos e que o valor máximo de módulo de f(Z) para z∈Γ_R tende a zero quando R tende ao infinito então:

$\lim _{R\to \infty }I_{R}=0$

Aplicações

Dentre outras aplicações o Lema de Jordam é fundamental para os seguintes cálculos: integrais reais via variáveis complexas, Transformada de Laplace Inversa, Transformada de Fourier Inversa, dentre outros.

Nestes cálculos, boa parte da dificuldade está em escolher um contorno de integração e uma função $g(z)$ convenientes.

Demonstração

Por definição:

${\begin{aligned}\int _{C_{R}}f(z)\,dz&=\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{iaR(\cos \theta +i\sin \theta )}\,iRe^{i\theta }\,d\theta \\&=R\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }\,d\theta \,.\end{aligned}}$

${\biggl |}\int _{a}^{b}f(x)\,dx{\biggr |}\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$

${\begin{aligned}I_{R}:={\biggl |}\int _{C_{R}}f(z)\,dz{\biggr |}&\leq R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }{\bigr |}\,d\theta \\&=R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta }){\bigr |}\,e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.\end{aligned}}$

Utilizando $M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\bigl |}g{\bigl (}Re^{i\theta }{\bigr )}{\bigr |}$ e a simetria sin θ = sin(π – θ), temos:

$I_{R}\leq RM_{R}\int _{0}^{\pi }e^{-aR\sin \theta }\,d\theta =2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.$

De fato o sin θ é concavo neste intervalo θ ∈ [0,π /2], logo, o gráfico sin θ estará acima da linha ${\frac {2\theta }{\pi }}$, consequentemente

$\sin \theta \geq {\frac {2\theta }{\pi }}\quad$

portanto, como $M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\bigl |}g{\bigl (}Re^{i\theta }{\bigr )}{\bigr |}\to 0\quad {\mbox{quando }}R\to \infty \,$, temos:

$I_{R}\leq 2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-2aR\theta /\pi }\,d\theta ={\frac {\pi }{a}}(1-e^{-aR})M_{R}\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\,.$

Exemplo

Calcule a seguinte integral:

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}dx$

Resolução

Seja a função:

$f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}$

Nesta ache as singularidades (igualando a zero o denominador)

$\qquad z\in {\mathbb {C} }\setminus \{i,-i\}$

Desenhando a curva, nota-se que a singularidade de f no plano se encontra apenas na metade superior, em z = i , assim...

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\int _{-R}^{R}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx+\int _{\Gamma _{R}}{\frac {1}{1+z^{2}}}\,dz=2\pi i\,\operatorname {Res} (f,i)\,.$

E, por f ser de polo simples

$2\pi i\operatorname {Res} (f,i)=2\pi i\lim _{z\to i}(z-i)f(z)=2\pi i\lim _{z\to i}{\frac {1}{z+i}}=2\pi i{\frac {1}{2i}}=\pi$

Assim,

$\int _{-R}^{R}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx+\int _{\Gamma _{R}}{\frac {1}{1+z^{2}}}\,dz=\pi$

Utilizando o lema de jordan, quando R →$\infty$, temos

$\lim _{R\to \infty }\left|{\frac {1}{1+z^{2}}}\right|=0$ ,pela substituição z = R e^iθ (lembrando que e^iθ = cos(θ) + i sen(θ) é uma função limitada, entre 1 e -1)

Contudo, quando R →$\infty$:

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx+0=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\pi$

Notas e Referências

• E. Capela de Oliveira; A. Rodrigues Jr. (1999). Introdução às Variáveis Complexas e Aplicações. Campinas - SP: Imecc: [s.n.] p. 284p. ISBN 85-87185-02-0 
• Brown, James W.; Churchill, Ruel V. (2004). Variáveis Complexas e Aplicações 7ª ed. New York: McGraw Hill. p. 262–265. ISBN 0-07-287252-7 

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